Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，D是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，AD=BC，CD=BE．

（1）如圖1，若點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，連結(jié)BD，請寫出∠BDE的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)E與點(diǎn)B、C不重合，連結(jié)AE、BD交于點(diǎn)F，請?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，并求出∠BFE的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，
∴BE=BC．
∵CD=BE，
∴CD=BC．
∵∠ACB=90°，
∴∠BDE=45°

（2）作AG⊥AC且AG=CD=BE，連接BG，GD，
∴∠GAD=90°．
∵∠ACB=90°．
∴BC⊥AC，∠GAD=∠ACB
∴AG∥BC，
∴四邊形AEBG是平行四邊形，
∴GB∥AE，
∴∠AFD=∠GBD．
在△GAD和△DCB中，
，
∴△GAD≌△DCB（SAS），
∴GD=BD，∠GDA=∠DBC，
∵∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠GDA+∠BDC=90°，
∴∠GDB=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠GBD=45°，
∴∠AFD=45°，
∴∠BFE=45°．
分析：（1）由CD=BE，∠ACB=90°就可以得出△BCD是等腰直角三角形，故可以得出∠BDE的度數(shù)；
（2）作AG⊥AC且AG=CD=BE，連接BG，則四邊形AEBG是平行四邊形．連接GD，證明Rt△BCD≌Rt△DAG，則GD=BD，△BGD是等腰直角三角形．就可以求出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)添加合適的輔助線是難點(diǎn)，證明△BGD是等腰直角三角形是關(guān)鍵．