Question

已知a，b，c是三角形三條邊的長，求證：方程b²x²+（b²+c²-a²）x+c²=0無實(shí)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,三角形三邊關(guān)系

專題：證明題

分析：根據(jù)三角形中三邊的關(guān)系，計(jì)算方程b²x²+（b²+c²-a²）x+c²=0的△的符號(hào)后，判斷方程的根的情況

解答：證明：∵a、b、c為三角形的三邊長，
∴△=（b²+c²-a²）²-4b²c²=（b²+c²-a²+2bc）（b²+c²-a²-2bc）=[（b+c）²-a²][（b-c）²-a²]=（b+c+a）（b+c-a）（b-c+a）（b-c-a），
∵三角形中兩邊之和大于第三邊，
∴b+c-a＞0，b-c+a＞0，b-c-a＜0
又∵b+c+a＞0，
∴△＜0，
∴方程b²x²+（b²+c²-a²）x+c²=0的根的情況是無實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：考查一元二次方程根的判別式和三角形的三邊關(guān)系．解決的關(guān)鍵是正確進(jìn)行因式分解．