Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1.5，DC=6，點(diǎn)E是腰AB上一點(diǎn)，且AE=

1

3

AB，∠EDC=90°，把△DEC沿EC折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處：
（1）求證：∠ECF=30°；
（2）求tan∠ABC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)△AED∽△BEG就可以求出∠G=30°，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（2）過(guò)A作AM⊥BC于M，過(guò)D作DN⊥BC于N，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)就可以求出EF和BF的值，從而求出結(jié)論．

解答：解：（1）延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)A作AM⊥BC于M，過(guò)D作DN⊥BC于N，交EC于O
∴EF∥DN，
∴AM=DN．
∵△DEC與△FEC關(guān)于EC成軸對(duì)稱，
∴△DEC≌△FEC，
∴∠FEC=∠DEC，
∵把△DEC沿EC折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處
∴△EDC≌△EFC
∴∠FEC=∠DEC=∠DOE，∠ECD=∠ECF，DE=FE，CD=CF，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△BEG，
∴

AD

GB

=

AE

BE

=

DE

GE

．
∵AE=

1

3

AB，
∴

AE

BE

=

1

2

.

BE

AB

=

2

3

，
∴

DE

GE

=

1

2

，
∴

EF

GE

=

1

2

，
∵∠EFG=90°，
∴∠G=30°．
∴∠GCD=60°．
∵∠ECD=∠ECF，
∴∠CEF=

1

2

∠GCD=30°，
（2）∵AD=1.5，
∴

1.5

GB

=

1

2

∴GB=3．
∵EF∥DN
∴△BEF∽△BAM，
∴

EF

AM

=

BE

AB

．
∵∠DCN=60°，
∴∠NDC=30°，
∴NC=3．DN=AM=3

3

．DE=FE=2

3

∴由勾股定理，得
GD=6

3

，GN=9．
∵EF∥DN，
∴

2 3

3 3

=

GF

9

，
∴GF=6，
∴BF=3，
∴tan∠ABC=

EF

BF

=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，30°的直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．