【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象過點A(﹣1,3),頂點B的橫坐標(biāo)為1.
(1)求這個二次函數(shù)的表達式;
(2)點P在該二次函數(shù)的圖象上,點Q在x軸上,若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P的坐標(biāo);
(3)如圖3,一次函數(shù)y=kx(k>0)的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于O、C兩點,點T為該二次函數(shù)圖象上位于直線OC下方的動點,過點T作直線TM⊥OC,垂足為點M,且M在線段OC上(不與O、C重合),過點T作直線TN∥y軸交OC于點N.若在點T運動的過程中, 為常數(shù),試確定k的值.
【答案】(1)y=x2﹣2x;(2)P(1+,2)或(1﹣,2)或P(1+,4)或(1﹣,4);(3)k=.
【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題.
(2)①當(dāng)AB為對角線時,根據(jù)中點坐標(biāo)公式,列出方程組解決問題.②當(dāng)AB為邊時,根據(jù)中點坐標(biāo)公式列出方程組解決問題.
(3)設(shè)T(m,m2﹣2m),由TM⊥OC,可以設(shè)直線TM為y=﹣x+b,則m2﹣2m=﹣m+b,b=m2﹣2m+,求出點M、N坐標(biāo),求出OM、ON,根據(jù)列出等式,即可解決問題.
試題解析:解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象過點A(﹣1,3),頂點B的橫坐標(biāo)為1,則有,解得: ,∴二次函數(shù)y=x2﹣2x;
(2)由(1)得:B(1,﹣1).∵A(﹣1,3),∴直線AB解析式為y=﹣2x+1,AB=2,設(shè)點Q(m,0),P(n,n2﹣2n).∵以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形,分兩種情況討論:
①當(dāng)AB為對角線時,根據(jù)中點坐標(biāo)公式得,則有,解得: 或,∴P(1+,2)和(1﹣,2);
②當(dāng)AB為邊時,根據(jù)中點坐標(biāo)公式得,解得或,
∴P(1+,4)或(1﹣,4).
故答案為:P(1+,2)或(1﹣,2)或P(1+,4)或(1﹣,4).
(3)設(shè)T(m,m2﹣2m).∵TM⊥OC,∴可以設(shè)直線TM為y=﹣x+b,則m2﹣2m=﹣m+b,b=m2﹣2m+,由,解得,∴OM==,ON=m,∴=,∴k=時, =,∴當(dāng)k=時,點T運動的過程中, 為常數(shù).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知直線y=﹣x+8與x軸、y軸分別交于A、B兩點.直線OD⊥直線AB于點D.現(xiàn)有一點P從點D出發(fā),沿線段DO向點O運動,另一點Q從點O出發(fā),沿線段OA向點A運動,兩點同時出發(fā),速度都為每秒1個單位長度,當(dāng)點P運動到O時,兩點都停止.設(shè)運動時間為t秒.
(1)點A的坐標(biāo)為_____;線段OD的長為_____.
(2)設(shè)△OPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系(不要求寫出取值范圍),并確定t為何值時S的值最大?
(3)是否存在某一時刻t,使得△OPQ為等腰三角形?若存在,寫出所有滿足條件的t的值;若不存在,則說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 觀察下列兩個等式:2+2=2×2,3+=3×,給出定義如下:我們稱使等式a+b=ab成立的一對有理數(shù)a,b為“有趣數(shù)對”,記為(a,b)如:數(shù)對(2,2),(3,)都是“有趣數(shù)對”.
(1)數(shù)對(0,0),(5,)中是“有趣數(shù)對”的是 ;
(2)若(a,)是“有趣數(shù)對”,求a的值;
(3)請再寫出一對符合條件的“有趣數(shù)對” ;
(注意:不能與題目中已有的“有趣數(shù)對”重復(fù))
(4)若(a2+a,4)是“有趣數(shù)對”求3﹣2a2﹣2a的值.
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【題目】正方形ABCD中,F是AB上一點,H是BC延長線上一點,連接FH,將△FBH沿FH翻折,使點B的對應(yīng)點E落在AD上,EH與CD交于點G,連接BG交FH于點M,當(dāng)GB平分∠CGE時,BM=2,AE=8,則ED=______.
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【題目】如圖,已知數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為6,點B表示的數(shù)為﹣4,點C到點A、點B的距離相等,動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,設(shè)運動時間為x(x大于0)秒.
(1)點C表示的數(shù)是 ;
(2)當(dāng)x= 秒時,點P到達點A處?
(3)運動過程中點P表示的數(shù)是 (用含字母x的式子表示);
(4)當(dāng)P,C之間的距離為2個單位長度時,求x的值.
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【題目】點在線段上,.
(1) 如圖1,,兩點同時從,出發(fā),分別以,的速度沿直線向左運動;
①在還未到達點時,的值為 ;
②當(dāng)在右側(cè)時(點與不重合),取中點,的中點是,求的值;
(2) 若是直線上一點,且.則的值為 .
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,兩點分別是軸和軸正半軸上兩個動點,以三點為頂點的矩形的面積為24,反比例函數(shù)(為常數(shù)且)的圖象與矩形的兩邊分別交于點.
(1)若且點的橫坐標(biāo)為3.
①點的坐標(biāo)為 ,點的坐標(biāo)為 (不需寫過程,直接寫出結(jié)果);
②在軸上是否存在點,使的周長最小?若存在,請求出的周長最小值;若不存在,請說明理由.
(2)連接,在點的運動過程中,的面積會發(fā)生變化嗎?若變化,請說明理由,若不變,請用含的代數(shù)式表示出的面積.
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【題目】已知:一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是2,方差是,那么另一組數(shù)據(jù)3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均數(shù)和方差分別是( 。
A. 2, B. 2,1 C. 4, D. 4,3
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【題目】已知a,b為有理數(shù),且a,b不為0,則定義有理數(shù)對(a,b)的“真誠值”為d(a,b)=,如有理數(shù)對(3,2)的“真誠值”為d(3,2)=23﹣10=﹣2,有理數(shù)對(﹣2,5)的“真誠值”為d(﹣2,5)=(﹣2)5﹣10=﹣42.
(1)求有理數(shù)對(﹣3,2)與(1,2)的“真誠值”;
(2)求證:有理數(shù)對(a,b)與(b,a)的“真誠值”相等;
(3)若(a,2)的“真誠值”的絕對值為|d(a,2)|,若|d(a,2)|=6,求a的值.
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