Question

如圖，小紅作出了邊長為1的第1個正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面積，然后分別取△A₁B₁C₁三邊的中點A₂，B₂，C₂，作出了第2個正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面積，用同樣的方法，作出了第3個正△A₃B₃C₃，算出了正△A₃B₃C₃的面積…，由此可得，第2014個正△A₂₀₁₄B₂₀₁₄C₂₀₁₄的面積是（　　）

• A、

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )2013
• B、

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )2014
• C、

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )2013
• D、

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )2014

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，先求出正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃的面積，依此類推△A_nB_nC_n的面積是

3

4n-1

，從而求出第2014個正△A₂₀₁₄B₂₀₁₄C₂₀₁₄的面積．

解答：解：正△A₁B₁C₁的面積是：

3

4

×2²=

3

=

3

40

，
∵△A₂B₂C₂與△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
∴面積的比是1：4，
則正△A₂B₂C₂的面積是

3

×

1

4

=

3

4

=

3

41

；
∵正△A₃B₃C₃與正△A₂B₂C₂的面積的比也是1：4，
∴正△A₃B₃C₃面積是

3

4

×

1

4

=

3

16

=

3

42

；
依此類推△A_nB_nC_n與△A_n-1B_n-1C_n-1的面積的比是1：4，
第n個三角形的面積是

3

4n-1

，
則第2014個正△A₂₀₁₄B₂₀₁₄C₂₀₁₄的面積是

3

42013

=

3

4

×（

1

4

）²⁰¹³．
故選：C．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，找出題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．