Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足點(diǎn)為E，連接AE．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取到最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′，求出P′的坐標(biāo)，并判斷P′是否在該拋物線上．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，則代入求得a，b，c，進(jìn)而得解析式與頂點(diǎn)D．
（2）由P在AD上，則可求AD解析式表示P點(diǎn)．由S_△APE=

1

2

•PE•y_P，所以S可表示，進(jìn)而由函數(shù)最值性質(zhì)易得S最值．
（3）由最值時(shí)，P為（-

3

2

，3），則E與C重合．畫(huà)示意圖，P'過(guò)作P'M⊥y軸，設(shè)邊長(zhǎng)通過(guò)解直角三角形可求各邊長(zhǎng)度，進(jìn)而得P'坐標(biāo)．判斷P′是否在該拋物線上，將x_P'坐標(biāo)代入解析式，判斷是否為y_P'即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴解析式為y=-x²-2x+3
∵-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（-1，4）．

（2）∵A（-3，0），D（-1，4），
∴設(shè)AD為解析式為y=kx+b，有

-3k+b=0 -k+b=4

，
解得

k=2 b=6

，
∴AD解析式：y=2x+6，
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S_△APE=

1

2

•PE•y_P=

1

2

•（-x）•（2x+6）=-x²-3x（-3＜x＜-1），當(dāng)x=-

-3

2•(-1)

=-

3

2

時(shí)，S取最大值

9

4

．

（3）如圖1，設(shè)P′F與y軸交于點(diǎn)N，過(guò)P′作P′M⊥y軸于點(diǎn)M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（-

3

2

，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=

3

2

，
∵PF∥y軸，
∴∠PFE=∠FEN，
∵∠PFE=∠P′FE，
∴∠FEN=∠P′FE，
∴EN=FN，
設(shè)EN=m，則FN=m，P′N(xiāo)=3-m．
在Rt△P′EN中，
∵（3-m）²+（

3

2

）²=m²，
∴m=

15

8

．
∵S△P′EN=

1

2

•P′N(xiāo)•P′E=

1

2

•EN•P′M，
∴P′M=

9

10

．
在Rt△EMP′中，
∵EM=

( 3 2 )2-( 9 10 )2

=

6

5

，
∴OM=EO-EM=

9

5

，
∴P′（

9

10

，

9

5

）．
當(dāng)x=

9

10

時(shí)，y=-（

9

10

）²-2•

9

10

+3=

39

100

≠

9

5

，
∴點(diǎn)P′不在該拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)圖象、性質(zhì)及設(shè)邊長(zhǎng)利用勾股定理解直角三角形等常規(guī)考點(diǎn)，題目考點(diǎn)適中，考法新穎，適合學(xué)生練習(xí)鞏固．