Question

在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)D在邊AB上，且CD²=AD•BD，則線段CD的長度是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：利用勾股定理逆定理判斷出∠ACB=90°，過點(diǎn)C作CD′⊥AB于D′，求出△ACD′和△CBD′相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CD′²=AD′•BD′，然后判斷出點(diǎn)D′與點(diǎn)D重合，再利用△ABC的面積列出方程求解即可．

解答：解：∵AC²+BC²=3²+4²=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
過點(diǎn)C作CD′⊥AB于D′，
則∠A+∠ACD′=∠BCD′+∠ACD′=90°，
∴∠A=∠BCD′，
又∵∠AD′C=∠CD′B=90°，
∴△ACD′∽△CBD′，
∴

AD′

CD′

=

CD′

BD′

，
∴CD′²=AD′•BD′，
∵CD²=AD•BD，
∴點(diǎn)D′與點(diǎn)D重合，CD⊥AB，
∵S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴

1

2

×5•CD=

1

2

×3×4，
解得CD=2.4．
故答案為：2.4．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理逆定理，作輔助線構(gòu)造出相似三角形判斷出CD⊥AB是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．