Question

17．如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）求PD的長；
（3）求PA，PD及$\widehat{AD}$圍成的圖形（即陰影部分）的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OA，AD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADO=∠B=60°，∠DAC=90°，由三角形的內(nèi)角和得到∠ACD=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠P=∠ACP=30°，∠ACO=∠CAO=30°，即可得到結(jié)論；
（2）由已知條件得到PA=AC=3，解直角三角形得到AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP=$\sqrt{3}$，求得PO=2AO=2$\sqrt{3}$，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OA，AD，
∵∠B=60°，
∴∠ADO=∠B=60°，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACD=30°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∵AO=OC，
∴∠ACO=∠CAO=30°，
∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，
∴AP是⊙O的切線；

（2）解：∵AC=3
∴PA=AC=3，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP=$\sqrt{3}$，
∴PO=2AO=2$\sqrt{3}$，
∴PD=PO-OD=$\sqrt{3}$；

（3）解：S_陰影=S_△AOP-S_扇形AOD=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{60π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定，扇形的面積的計算，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．