Question

已知：如圖（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．
小聰同學(xué)的思路是：通過證明△BDA≌△AEC，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE．
請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
（1）如圖（2），將已知中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（2）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是過點(diǎn)A的直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°就可以求出∠BAD=∠ACE，進(jìn)而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD=AE，DA=CE而得出結(jié)論；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，進(jìn)而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，而得出∠DFE=60°，就有△DEF為等邊三角形．

解答：證明：（1）DE=BD+CE成立．
理由：∵∠BDA=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△BAD和△ACE中

∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAE BA=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）△DEF為等邊三角形
理由：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形
∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△BAD和△ACE中

∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAE BA=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．
∵∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE．
在△BDF和△AEF中

FB=FA ∠DBF=∠FAE BD=AE

∴△DBF≌△EAF（SAS）
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
∴△DEF為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用．等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵．