Question

如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的四邊形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的三棱柱紙盒，使它的側(cè)面積等于底面積．
（1）求做成的紙盒的高；
（2）截去部分的面積占原三角形紙板面積的百分之幾？

Answer 1

考點：展開圖折疊成幾何體

專題：

分析：（1）設(shè)盒子高為xcm，則箏形的長邊為

3

xcm，盒子的底邊長為（6-2

3

x）cm，底面積：

3

4

（6-2

3

x）²cm²，側(cè)面積：3x（6-2

3

x）cm²，根據(jù)側(cè)面積等于底面積，列出方程即可求解；
（2）分當(dāng)x=1時；當(dāng)x=

3

時；兩種情況討論可求截去部分的面積占原三角形紙板面積的百分之幾．

解答：解：（1）設(shè)盒子高為xcm，則箏形的長邊為

3

xcm，盒子的底邊長為（6-2

3

x）cm，底面積：

3

4

（6-2

3

x）²cm²，側(cè)面積：3x（6-2

3

x）cm²，
則

3

4

（6-2

3

x）²=3x（6-2

3

x），
解得x₁=1，x₂=

3

（不合題意，舍去）；

（2）當(dāng)x=1時，側(cè)面積=3×1×（6-2

3

）=18-6

3

cm²，原等邊三角形面積：

3

4

×6²=9

3

cm²，
剪去面積：9

3

-（18-6

3

）=（15

3

-18）cm²，截去部分的面積占原三角形紙板面積的（15

3

-18）÷（9

3

）≈51.2%．
當(dāng)x=

3

時，側(cè)面積S=3

3

（6-2×

3

×

3

）=0（不合題意，舍去）．
故截去部分的面積占原三角形紙板面積的51.2%．

點評：考查了展開圖折疊成幾何體，解題的關(guān)鍵是設(shè)盒子高為xcm，表示出箏形的長邊為

3

xcm，盒子的底邊長為（6-2

3

x）cm，底面積：

3

4

（6-2

3

x）²cm²，側(cè)面積：3x（6-2

3

x）cm²．