Question

【題目】如圖所示，有一張矩形紙片ABCD，E、F分別是BC、AD上的點（不與頂點重合）．如果直線EF將矩形分成面積相等的兩部分，那么

（1）得到的兩個四邊形是否相似？若相似，請求出相似比；若不相似，請說明理由；

（2）這樣的直線可以作多少條？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）相似．理由如下：

因為EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，所以可設(shè)AB＝a，AD＝b，BE＝x．

于是有，

所以x＋AF＝b－x＋b－AF，即AF＝b－x．

又EC＝b－x，所以AF＝EC．

在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，

所以DF＝BE，∠AFE＝∠FEC，∠DFE＝∠BEF，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

所以在四邊形ABEF與四邊形CDFE中，有

∠A＝∠C＝90°，∠B＝∠D＝90°，∠AFE＝∠FEC，∠BEF＝∠DFE，

，

所以四邊形ABEF與四邊形CDFE相似，相似比為1．

（2）這樣的直線有無數(shù)條，只要過矩形對角線的交點且滿足條件即可．