Question

20．在△ABC中，己知BC=20cm，BC邊上的高AM=16cm，在三角形內截取一個面積最大的矩形，并使它的一邊在BC上，求此時矩形的長和寬．

Answer 1

分析 設矩形EFGH的寬EF=x，根據相似三角形對應高的比等于相似比列式求出EH，再根據矩形的面積列式整理，然后根據二次函數(shù)的最值問題解答即可

解答 解：如圖，設矩形EFGH的寬EF=x，則AN=AM-MN=12-x，
∵矩形的對邊EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴$\frac{AN}{AM}=\frac{EH}{BC}$，
即$\frac{16-x}{16}=\frac{EH}{20}$，
解得：EH=20-$\frac{5x}{4}$，
四邊形EFGH的面積=x•（20-$\frac{5x}{4}$）=-$\frac{5}{4}$x²+20x=-$\frac{5}{4}$（x-8）²+80，
所以，當x=8，即EF=8時，四邊形EFGH最大面積為80cm²，
此時EH=20-$\frac{5}{4}×8$=10，
∴此時矩形的長和寬分別是10cm，8cm．

點評 本題考查了相似三角形的應用，二次函數(shù)的最值問題，根據相似三角形的對應高的比等于相似比用矩形EFGH的寬表示出長是解題的關鍵．