Question

8．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等邊三角形，其中點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（3，1），（3，3），（3-$\sqrt{3}$，2），現(xiàn)以原點(diǎn)為對(duì)稱中心作△ABC的中心對(duì)稱圖形，得△A₁B₁C₁，再以y軸為對(duì)稱軸作△A₁B₁C₁的對(duì)稱圖形，得△A₂B₂C₂．
（1）直接寫出C₁，C₂的坐標(biāo)；
（2）能否通過一次旋轉(zhuǎn)，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A₁B₁C₁的位置？你若認(rèn)為能，請(qǐng)作出肯定的回答，并直接寫出所旋轉(zhuǎn)的角度；你若認(rèn)為不能，請(qǐng)作出否定的回答（不必說明理由）；
（3）設(shè)當(dāng)△ABC的位置發(fā)生變化時(shí)，△A₂B₂C₂，△A₁B₁C₁與△ABC之間的對(duì)稱關(guān)系始終保持不變，當(dāng)△ABC向下平移多少個(gè)單位時(shí)，△ABC與△A₂B₂C₂完全重合？并直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AB于H，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)和三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷∴AB∥y軸，AB=2，AH=BH=1，∠A=60°，則可寫出H點(diǎn)坐標(biāo)，接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出CH即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用關(guān)于原點(diǎn)和關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可分別寫出C₁，C₂的坐標(biāo)；
（2）成中心對(duì)稱的兩圖形都可以利用旋轉(zhuǎn)完成．
（3）把△ABC向下平移到△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，△ABC與△A₂B₂C₂完全重合，然后確定平移的距離．

解答 解：（1）作CH⊥AB于H，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，A，B，C的坐標(biāo)分別為（3，1），（3，3），（3-$\sqrt{3}$，2），
∴AB∥y軸，AB=2，AH=BH=1，∠A=60°，
∴H（3，2），
在Rt△ACH中，CH=$\sqrt{3}$AH=$\sqrt{3}$，
∵C（3-$\sqrt{3}$，2），
∵△ABC與△A₁B₁C₁關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，
∴C₁（-3+$\sqrt{3}$，-2），
∵△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴C₂（3-$\sqrt{3}$，-2）；
（2）能通過一次旋轉(zhuǎn)，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A₁B₁C₁的位置．
把△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△A₁B₁C₁的位置，即旋轉(zhuǎn)的角度為180°；
（3）當(dāng)△ABC向下平移2個(gè)單位時(shí)，△ABC與△A₂B₂C₂完全重合，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3-$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律和關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．