Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的三個(gè)頂點(diǎn)、、．以為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫(xiě)出點(diǎn)A得到坐標(biāo)；由頂點(diǎn)A的坐標(biāo)可設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)式方程為y=a（x-1）2+4，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可求得系數(shù)a的值（利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式）；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線AC的方程y=-2x+6；由圖形與坐標(biāo)變換可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4-t），據(jù)此可以求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，將其代入直線AC方程可以求得點(diǎn)E或點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標(biāo)變換可以求得GE=4-、點(diǎn)A到GE的距離為，C到GE的距離為2-；最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=-（t-2）2+1，由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時(shí)，S△ACG的最大值為1．

，

由題意知，可設(shè)拋物線解析式為

∵拋物線過(guò)點(diǎn)，

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為，即；

∵，，

∴可求直線的解析式為．

∵點(diǎn)．

∴將代入中，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴把，代入拋物線的解析式中，可求點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴，

又點(diǎn)到的距離為，到的距離為，

即

．

當(dāng)時(shí)，的最大值為．