Question

1．平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC放置如圖，點(diǎn)A（3，0）、C（0，9），現(xiàn)將它繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得矩形O′A′BC′，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′在x軸上，O′C′交AB于D．
求：（1）點(diǎn)O′的坐標(biāo)；（2）線段AD的長；（3）點(diǎn)C′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）連接BO和BO'，由題意知OA=O'A，從而得出點(diǎn)O′的坐標(biāo)；
（2）先證明△BDC'≌△O'DA，可得C'D=AD=m，再由勾股定理即可求出m的長即可；
（3）作C′M⊥x軸于M，則C′M∥AB，得出△O′C′M∽△O′DA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出C′M=$\frac{36}{5}$，O′M=$\frac{27}{5}$，得出OM=$\frac{3}{5}$，即可得出點(diǎn)C′的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意知OA=O'A=3，
∴點(diǎn)O'的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）設(shè)AD=m，
由題意得：BC'=O'A=3，
在△BDC'≌△O'DA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BC′D=∠O′AD}&{\;}\\{∠BDC′=∠O′DA}&{\;}\\{BC′=O′A}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDC'≌△O'DA（AAS），
∴C'D=AD=m，則DO'=9-m，
在Rt△ADO'中，AD²+AO'²=DO'²，
∴m²+3²=（9-m）²，
解得：m=4，
∴線段AD的長度為 4．
（3）作C′M⊥x軸于M，則C′M∥AB，
∴△O′C′M∽△O′DA，
∴$\frac{C′M}{AD}=\frac{C′O′}{O′D}$=$\frac{O′M}{O′A}$，
∴$\frac{C′M}{4}=\frac{9}{5}$=$\frac{O′M}{3}$，
解得：C′M=$\frac{36}{5}$，O′M=$\frac{27}{5}$，
∴OM=6-$\frac{27}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$，$\frac{36}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．