【題目】【探索發(fā)現(xiàn)】
如圖①,是一張直角三角形紙片,∠B=90°,小明想從中剪出一個以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形,經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn),當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時,所得的矩形的面積最大,隨后,他通過證明驗證了其正確性,并得出:矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 .
【拓展應(yīng)用】
如圖②,在△ABC中,BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上,頂點Q、M在邊BC上,則矩形PQMN面積的最大值為 .(用含a,h的代數(shù)式表示)
【靈活應(yīng)用】
如圖③,有一塊“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個面積最大的矩形(∠B為所剪出矩形的內(nèi)角),求該矩形的面積.
【實際應(yīng)用】
如圖④,現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,求該矩形的面積.
【答案】詳見解析.
【解析】試題解分析:【探索發(fā)現(xiàn)】:由中位線知EF=BC、ED=AB、由可得;
【拓展應(yīng)用】:由△APN∽△ABC知,可得PN=a-PQ,設(shè)PQ=x,由S矩形PQMN=PQPN═-(x-)2+,據(jù)此可得;
【靈活應(yīng)用】:添加如圖1輔助線,取BF中點I,FG的中點K,由矩形性質(zhì)知AE=EH=20、CD=DH=16,分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20,從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上,利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可;
【實際應(yīng)用】:延長BA、CD交于點E,過點E作EH⊥BC于點H,由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54,EH=BH=72,繼而求得BE=CE=90,可判斷中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上,利用【拓展應(yīng)用】結(jié)論解答可得.
試題解析:【探索發(fā)現(xiàn)】
∵EF、ED為△ABC中位線,
∴ED∥AB,EF∥BC,EF=BC,ED=AB,
又∠B=90°,
∴四邊形FEDB是矩形,
則;
【拓展應(yīng)用】
∵PN∥BC,
∴△APN∽△ABC,
∴,即,
∴PN=a-PQ,
設(shè)PQ=x,
則S矩形PQMN=PQPN=x(a-x)=-x2+ax=-(x-)2+,
∴當(dāng)PQ=時,S矩形PQMN最大值為.
【靈活應(yīng)用】
如圖1,延長BA、DE交于點F,延長BC、ED交于點G,延長AE、CD交于點H,取BF中點I,FG的中點K,
由題意知四邊形ABCH是矩形,
∵AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,
∴EH=20、DH=16,
∴AE=EH、CD=DH,
在△AEF和△HED中,
∵ ,
∴△AEF≌△HED(ASA),
∴AF=DH=16,
同理△CDG≌△HDE,
∴CG=HE=20,
∴BI==24,
∵BI=24<32,
∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上,
過點K作KL⊥BC于點L,
由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為×BGBF=×(40+20)×(32+16)=720,
答:該矩形的面積為720;
【實際應(yīng)用】
如圖2,延長BA、CD交于點E,過點E作EH⊥BC于點H,
∵tanB=tanC=,
∴∠B=∠C,
∴EB=EC,
∵BC=108cm,且EH⊥BC,
∴BH=CH=BC=54cm,
∵tanB==,
∴EH=BH=×54=72cm,
在Rt△BHE中,BE==90cm,
∵AB=50cm,
∴AE=40cm,
∴BE的中點Q在線段AB上,
∵CD=60cm,
∴ED=30cm,
∴CE的中點P在線段CD上,
∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上,
由【拓展應(yīng)用】知,矩形PQMN的最大面積為BCEH=1944cm2,
答:該矩形的面積為1944cm2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A,B兩點,并經(jīng)過點C,已知點A的坐標(biāo)是(﹣6,0),點C的坐標(biāo)是(﹣8,﹣6).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線的頂點坐標(biāo)及點B的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點D,連接CD,并延長CD交拋物線于點E,連接AC,AE,求△ACE的面積;
(4)拋物線上有一個動點M,與A,B兩點構(gòu)成△ABM,是否存在S△ADM=S△ACD?若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=80cm,AB=40cm,半徑為8cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切.現(xiàn)有動點P從A點出發(fā),在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動,當(dāng)點P到達(dá)D點時停止移動;⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移,移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回,當(dāng)⊙O回到出發(fā)時的位置(即再次與AB相切)時停止移動.已知點P與⊙O同時開始移動,同時停止移動(即同時到達(dá)各自的終止位置).當(dāng)⊙O到達(dá)⊙O1的位置時(此時圓心O1在矩形對角線BD上),DP與⊙O1恰好相切,此時⊙O移動了( )cm.
A.56B.72C.56或72D.不存在
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E對角線BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足為點F,則EF的長為( )
A. 1B. 4-C. D. -4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:a是最大的負(fù)整數(shù),b是最小的正整數(shù),且c=a+b,請回答下列問題:
(1)請直接寫出a,b,c的值:a= ;b= ;c= ;
(2)a,b,c在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A,B,C,請在如圖的數(shù)軸上表示出A,B,C三點;
(3)在(2)的情況下.點A,B,C開始在數(shù)軸上運動,若點A,點C以每秒1個單位的速度向左運動,同時,點B以每秒5個單位長度的速度向右運動,假設(shè)t秒鐘過后,若點B與點C之間的距離表示為BC,點A與點B之間的距離表示為AB,請問:AB﹣BC的值是否隨著時間的變化而改變?若變化,請說明理由;若不變,請求出AB﹣BC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了編撰祖國的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校組織了一次“詩詞大會”,小明和小麗同時參加,其中,有一道必答題是:從如圖所示的九宮格中選取七個字組成一句唐詩,其答案為“山重水復(fù)疑無路”.
(1)小明回答該問題時,對第二個字是選“重”還是選“窮”難以抉擇,若隨機(jī)選擇其中一個,則小明回答正確的概率是 ;
(2)小麗回答該問題時,對第二個字是選“重”還是選“窮”、第四個字是選“富”還是選“復(fù)”都難以抉擇,若分別隨機(jī)選擇,請用列表或畫樹狀圖的方法求小麗回答正確的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:點D,E分別是△ABC的BC,AC邊的中點.
(1)如圖①,若AB=10,求DE的長;
(2)如圖②,點F是AB邊上的一點,FG//AD,交ED的延長線于點G.求證:AF=DG
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明家需要用鋼管做防盜窗,按設(shè)計要求,其中需要長為 0.8m,2.5m 且粗細(xì)相同的鋼管分別為 100 根,32 根,并要求這些用料不能是焊接而成的.現(xiàn)鋼材市場的這種規(guī)格的鋼管每根為 6m.
(1)試問一根 6m 長的圓鋼管有哪些裁剪方法呢?請?zhí)顚懴驴眨ㄓ嗔献鲝U).
方法①:當(dāng)只裁剪長為 0.8m 的用料時,最多可剪 根;
方法②:當(dāng)先剪下 1 根 2.5m 的用料時,余下部分最多能剪 0.8m 長的用料 根;
方法③:當(dāng)先剪下 2 根 2.5m 的用料時,余下部分最多能剪 0.8m 長的用料 根.
(2)分別用(1)中的方法②和方法③各裁剪多少根 6m 長的鋼管,才能剛好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的材料?
(3)試探究:除(2)中方案外,在(1)中還有哪兩種方法聯(lián)合,所需要 6m 長的鋼管與(2) 中根數(shù)相同?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,杭州某化工廠與A,B兩地有公路,鐵路相連.這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運回工廠,制成每噸8000元的產(chǎn)品運到B地.已知公路運價為1.4元/(噸千米),鐵路運價為1.1元/(噸千米),且這兩次運輸共支出公路運輸費14000元,鐵路運輸費89100元,求:
(1)該工廠從A地購買了多少噸原料?制成運往B地的產(chǎn)品多少噸?
(2)這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元?
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