【題目】如圖1,為等腰三角形,,點在線段上(不與重合),以為腰長作等腰直角,.

1)求證:

2)連接,若,求的值.

3)如圖2,過的延長線于點,過點作,連接,當點在線段上運動時(不與重合),式子的值會變化嗎?若不變,求出該值;若變化,請說明理由..

【答案】1)證明見詳解;(22;(3)式子值不變,理由見詳解.

【解析】

1)根據(jù)題目中的信息可以得到AQ=AP,∠QEA與∠ABP之間的關(guān)系,∠QAE與∠APB之間的關(guān)系,從而可以解答本題;

2)由第一問中的兩個三角形全等,可以得到各邊之間的關(guān)系,然后根據(jù)題目中的信息找到PCMB的關(guān)系,從而可以解答本題;

3)作合適的輔助線,構(gòu)造直角三角形,通過三角形的全等可以找到所求問題需要的邊之間的關(guān)系,從而可以解答本題.

1)證明:∵△ACB為等腰三角形,∠ABC=90°,點P在線段BC上(不與B,C重合),以AP為腰長作等腰直角△PAQ,QEABE

AP=AQ,∠ABQ=QEA=90°,∠QAE+BAP=BAP+APB=90°,

∴∠QAE=APB,

在△PAB和△AQE中,

∴△PAB≌△AQEAAS);

2 ∵△PAB≌△AQE,

AE=PB,

AB=CB,

QE=CB

在△QEM和△CBM中,

∴△QEM≌△CBMAAS),

ME=MB,

AB=CB,AE=PB,PC=2PB,

BE=PC,

PC=2PB

PC=2MB,

3)式子的值不會變化.

如下圖所示:作HAACQF于點H

QAAP,HAAC,APPD,

∴∠QAH+HAP=HAP+PAD=90°,∠AQH=APD=90°,

∴∠QAH=PAD,

∵△PAQ為等腰直角三角形,

AQ=AP,

在△AQH和△APD中,

∴△AQH≌△APDASA),

AH=AD,QH=PD

HAAC,∠BAC=45°,

∴∠HAF=DAF,

在△AHF和△ADF中,

∴△AHF≌△ADFSAS),

HF=DF,

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MON=  °;

2OC也是∠AOD內(nèi)的射線,如圖2,若∠BOC=m°OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,

求∠MON的大。ㄓ煤m的式子表示);

3)在(2)的條件下,若m=20,AOB=10°,當∠BOC在∠AOD內(nèi)部繞O點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)t秒,如圖3,若3AOM=2DON時,求t的值.

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C. 55°

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