Question

如圖1，直線y=-

1

2

x+1交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，C（m，-m）是直線AB上一點(diǎn)，雙曲線y=

k

x

經(jīng)過C點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及雙曲線的解析式．
（2）如圖2，以CB為邊在直線AB的上方作正方形BCDE，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)D是否在（1）中所求雙曲線上？
（3）如圖3，M，F(xiàn)分別是正方形BCDE的邊CD，BC上的點(diǎn)，且MF∥BD，在ED的延長線上取一點(diǎn)K，使得DK=DE，KM與EF相交于點(diǎn)H，證明：∠EDH=2∠BEF．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程，解得m的值，即可得到C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；
（2）作CM⊥y軸于點(diǎn)M，DN⊥y軸于點(diǎn)N，DF⊥CM于點(diǎn)F，然后證明△CDF≌△BCM，即可求得D的坐標(biāo)，代入雙曲線的解析式即可判斷；
（3）證明△KDM≌△EBF，證得∠KMD=∠EFB，然后證明△KHE是直角三角形，根據(jù)直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，利用等邊對等角，以及三角形的外角的性質(zhì)即可證得．

解答：解：（1）把x=m，y=-m代入y=-

1

2

x+1，得：-m=-

1

2

m+1，
解得：m=-2，
則C的坐標(biāo)是（-2，2），
代入y=

k

x

得：k=-4，
則雙曲線的解析式是：y=-

4

x

；

（2）在y=-

1

2

x+1中，令x=0，解得：y=1，則B的坐標(biāo)是（0，1）．
作CM⊥y軸于點(diǎn)M，DN⊥y軸于點(diǎn)N，DF⊥CM于點(diǎn)F．
則CM=2，AM=2，BM=2-1=1．
∵∠DCB=∠DCM+∠MCB=90°，
又∵直角△BCM中，∠MCB+∠CBM=90°，
∴∠DCM=∠CBM，
則在△CDF和△BCM中，

∠DCM=∠CBM ∠CFD=∠CMB CD=BC

，
∴△CDF≌△BCM，
∴CF=BM=1，DF=CM=2，
∴MN=DF=2，
則AN=4，DN=FM=CM-CF=1，
則D的坐標(biāo)是（-1，4），
滿足y=-

4

x

，即D在雙曲線上；

（3）∵BCDE是正方形，
∴BC=CD，
又∵M(jìn)F∥BD，
∴CM=CF，
∴MD=FB，
∴在△KDM和△EBF中，

KD=EB ∠KDM=∠EBF MD=FB

，
∴△KDM≌△EBF，
∴∠KMD=∠EFB，
∴∠CMH+∠CFH=∠KMD+∠CFH=∠EFB+∠CFH=180°，
又∠MCF=90°，
∴∠MHF=90°，
∴△KHE是直角三角形．
又∵DK=DE，
∴KD=DP，
∴∠K=∠DHP，
又∵∠EDH=∠K+∠DHK，∠KMD=∠EFB，
∴∠EDH=2∠BEF．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確求得D的坐標(biāo)，以及證明△KDM≌△EBF是關(guān)鍵．