Question

【題目】已知一次函數(shù)y=﹣x+的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．直線l過點A且垂直于x軸．兩動點D、E分別從A B兩點間時出發(fā)向O點運動（運動到O點停止）．運動速度分別是每秒1個單位長度和個單位長度．點G、E關(guān)于直線l對稱，GE交AB于點F．設(shè)D、E的運動時間為t（s）．

（1）當(dāng)t為何值時，四邊形是菱形？判斷此時△AFG與AGB是否相似，并說明理由；

（2）當(dāng)△ADF是直角三角形時，求△BEF與△BFG的面積之比．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）①先求出A、B的坐標(biāo)，由題意可得EF=t，BF=2t，AF=2﹣2t，AD=t，從而四邊形ADEF為平行四邊形，由AD=AF時，ADEF是菱形可求出t的值；②由銳角三角函數(shù)的知識可求∠EBG=60°，從而∠ABG=30°，根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似可證△AFG∽△AGB；

（2）分∠ADF=90°和∠AFD=90°兩種情況求解即可.

解：（1）①由題意可得：A（1，0），B（0，），∠OBA=30°，

∵BE=t，

∴EF=t，BF=2t，AF=2﹣2t，

∵AD=t，

∴EF=AD，且EF∥AD，

∴四邊形ADEF為平行四邊形．

當(dāng)AD=AF時，ADEF是菱形，即：t=2﹣2t，解得t=．

②此時△AFG與△AGB相似．理由如下：

如答圖1所示，連接AE，則AE=AG，

∴∠AGE=∠AEG=30°．

在Rt△BEG中，BE=，EG=2，

∴tan∠EBG==，

∴∠EBG=60°，

∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°．

在△AFG與△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，

∴△AFG∽△AGB．

（2）∵∠DAF=60°，

∴當(dāng)∠ADF=90°時，AF=2AD，即：2﹣2t=2t，解得t=，

此時EF=，F(xiàn)G=，

∴==，

∴當(dāng)∠AFD=90°時，AD=2AF，即：t=2（2﹣2t），解得t=，

此時EF=，F(xiàn)G=，

∴==．