Question

【題目】如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）問(wèn)幾秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm？
（2）問(wèn)幾秒后，以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？
（提示：根據(jù)不同情況畫(huà)出不同的圖形，再給予解決問(wèn)題．）

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm，

（16﹣2x﹣3x）2+62=102，

（16﹣5x）2=64，

16﹣5x=±8，

x1=1.6，x2=4.8，

答：1.6秒或4.8秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=16，AD=BC=6，

根據(jù)題意得：AP=3t，CQ=2t，

∴DQ=CD﹣CQ=16﹣2t，

過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M，

∴四邊形BCQM是矩形，

∴QM=BC=6，BM=CQ=2t，

∴PM=AB﹣AP﹣BM=16﹣5t，

①如圖1，

若∠DPQ=90°，

∴∠APD+∠MPQ=90°，

∵∠APD=∠ADP=90°，

∴∠ADP=∠MPQ，

∵∠A=∠PMQ=90°，

∴△APD∽△MQP，

∴ = ，

∴ = ，

解得：t=2或t= ；

②如圖2，

若∠DQP=90°，則有DQ2=DP2﹣PQ2，

∴（16﹣2t）2=62+（3t）2﹣62，

解得：t= ，

綜上所述，當(dāng)t=2或 或 時(shí)，△PDQ為直角三角形．

【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理，得到一元二次方程，求出這個(gè)一元二次方程的解即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和速度得到各個(gè)邊的關(guān)系式，當(dāng)∠DPQ=90°時(shí)，得到△APD∽△MQP，得到比例求出t的值；當(dāng)∠DQP=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理求出t的值，在解一元二次方程時(shí)，注意實(shí)際意義.