Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=，則稱點Q為點P的“親密點”．即：當x≥0時，點P（x，y）的“親密點”Q的坐標為（x，y+1）；當x＜0時，點P（x，y）的“親密點”Q的坐標為（x，-y）．例如：點（1，2）的“親密點”為點（1，3），點（-1，3）的“親密點”為點（-1，-3）．

（1）點（2，-3）的“親密點”為______；______的“親密點”是（-2，-5）．

（2）點M（m+1，5）是一次函數y=x+3圖象上點N的“親密點”，求點N的坐標．

（3）若點P在函數y=x2-2x-3的圖象上．則其“親密點”Q的縱坐標y′關于x的函數圖象大致正確的是______．

（4）若點P在二次函數y=x2-2x-5的圖象上，當-2＜x≤a時，其親密點Q的縱坐標y′滿足-5≤y′≤5，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，-2），（-2，5）；（2）N1（1，4），N2（-2，-5）；（3）B；（4）1≤a≤1+

【解析】

（1）根據“親密點”的定義即可求得；（2）分兩種情況進行討論：當m+1≥0時，點M的縱坐標為5，令5=y+1，則y=4，把y=4代入y=x+3求得x的值，即M（1，4）；當m+1＜0時，點M的縱坐標為-5，代入y=x+3求得x的值，即M（-2，-5）；（3）根據函數y=x2-2x-3的圖象，依據“親密點”的定義找出y′關于x的函數圖象，由此即可得出結論；（4）根據“親密點”的定義，可得函數解析式，根據自變量與函數值得對應關系，可得答案．

（1）點（2，-3）的“親密點”為（2，-2），（-2，5）的“親密點”是（-2，-5）．

故答案為（2，-2），（-2，5）；

（2）N1（1，4），N2（-2，-5），

（3）由函數y=x2-2x-3=（x-3）（x+1）可知：拋物線開口向上，與x軸有兩個交點，交y軸與負半軸，所以將y軸左側的圖象關于x軸顛倒過來，將y軸右側的圖象向上平移1個單位，即可得出y′關于x的函數圖象．

故選B；

（4）由題意，得

y=x2-2x-5的圖象上的點P的親密點Q必在函數

y′=的圖象上，

當x=-2時，-x2+2x+5=5，

∵y′=-x2+2x+5＞-5（x＜0），

∴y′=-5在y′=x2-2x-4（x≥0）上，y′=5在y′=x2-2x-4（x≥0）上，

∴-5=x2-2x-4，

解得x=1，

∴5=x2-2x-4，

解得x=1+，x=1-（舍去），

∴1≤a≤1+ ．