Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，ED⊥BC，以AE為半徑的⊙A交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)D為邊BC中點(diǎn)時(shí)（如圖1），求弦EF的長(zhǎng)；
（2）設(shè)$\frac{DC}{BC}=x$，EF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；（不用寫(xiě)出定義域）；
（3）若DE過(guò)△ABC的重心，分別聯(lián)結(jié)BF、AF、CE，當(dāng)∠AFB=90°時(shí)（如圖2），求$\frac{CE}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AM⊥DF于M，只要證明△AEM≌△BED得ME=DE，再根據(jù)中位線定理、垂徑定理即可解決．
（2）先證明四邊形AMDC是矩形，再利用$\frac{AM}{BD}$=$\frac{ME}{ED}$即可解決問(wèn)題．
（3））如圖2中，因?yàn)辄c(diǎn)O是重心，所以AM、CN是中線，設(shè)DM=a，CD=2a，則BM=CM=3a，利用（2）的結(jié)論先求出ED、EF，由△BDE∽△FDB得$\frac{BD}{DF}$=$\frac{ED}{BD}$可以求出a，再求出AB、CE即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作AM⊥DF于M．
∵AM⊥EF，
∴FM=ME，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=∠C=∠AME=90°，
∴AM∥BC，AC∥DF，
∵BD=DC，
∴BE=AE，
∴ED=$\frac{1}{2}$AC=1，
在△AEM和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠AME=∠BDE}\\{∠AEM=∠BED}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△BED，
∴ME=ED=1，
∴EF=2ME=2．
（2）如圖1中，∵$\frac{DC}{BC}$=x，
∴$\frac{DB}{BC}$=1-x，
∵ED∥AC，
∴$\frac{ED}{AC}$=$\frac{DB}{BC}$，
∴DE=2（1-x），
∵AM∥CD，AC∥DM，
∴四邊形AMDC是平行四邊形，
∵∠C=90°，
∴四邊形AMDC是矩形，
∴AM=CD，
∵$\frac{AM}{BD}$=$\frac{ME}{ED}$，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{ME}{ED}$=$\frac{x}{1-x}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}y}{2（1-x）}$=$\frac{x}{1-x}$，
∴y=4x．
（3）如圖2中，∵點(diǎn)O是重心，
∴AM、CN是中線，
∴BN=AN，BM=MC，
∵M(jìn)N∥AC，MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{MO}{AO}=\frac{MN}{AC}=\frac{MD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)DM=a，CD=2a，則BM=CM=3a，
由（2）可知x=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴EF=4x=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{ED}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{4a}{6a}$=$\frac{2}{3}$，
∴ED=$\frac{4}{3}$，DF=$\frac{8}{3}$，
∵DF∥AC，
∴∠FEA=∠EAC，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴∠EAC=∠AFE，
∵∠AFE+∠BFE=90°，∠EAC+∠ABC=90°，
∴∠BFD=∠EBD，∵∠BDE=∠BDF，
∴△BDE∽△FDB，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{ED}{BD}$，
∴$\frac{4a}{\frac{8}{3}}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4a}$，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（負(fù)根以及舍棄）．
∴BC=6a=2$\sqrt{2}$，
在RT△ABC中，AB=$\sqrt{C{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
在RT△ECD中，EC=$\sqrt{C{D}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的有關(guān)知識(shí)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、重心的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，知道重心把中線線段分成1：2兩部分，屬于中考?jí)狠S題．