【題目】已知:△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是△ABC(包含邊界)平面內(nèi)一點(diǎn),連接CD,將線段CD繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE,連接BE,DE,AD,并延長AD交BE于點(diǎn)P.
(1)觀察填空:當(dāng)點(diǎn)D在圖1所示的位置時(shí),填空:
①與△ACD全等的三角形是______.
②∠APB的度數(shù)為______.
(2)猜想證明:在圖1中,猜想線段PD,PE,PC之間有什么數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想.
(3)拓展應(yīng)用:如圖2,當(dāng)△ABC邊長為4,AD=2時(shí),請(qǐng)直接寫出線段CE的最大值.
【答案】(1)①△BCE;②60°;(2)PD+PE=PC,證明見解析;(3)CE的最大值為6.
【解析】
(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定證明即可;
②根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和解答即可;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可;
(3)由(1)可得CE=CD,根據(jù)D點(diǎn)在線段AC上,CD長度最;D點(diǎn)在CA的延長線上,CD的長度最大,求出CD的最大值即可求得線段CE的最大值.
(1)①如圖1中,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°,
∵將線段CD繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE,
∴CE=CD,∠DCE=60°,
∴△DCE是等邊三角形,
∴∠DCE═60°,
∵∠ACD+∠DCB=60°,∠BCE+∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
故答案為:△BCE.
②∵△ACD≌△BCE,
∴∠EBC=∠DAC,
∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°,
∴∠PBC+∠BAD=60°,
∴∠APB=180°-∠ABC+∠PBC+∠BAP=180°-60°-60°=60°;
故答案為:60°.
(2)結(jié)論:PD+PE=PC.
理由:∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠CAD,
∵∠CAD+∠BAD=60°,∠BAD+∠DBC=60°,
∴∠BAD+∠ABD=∠BDP=60°,
∵∠APB=60°,
∴△BDP是等邊三角形,
∴DP=BP,
∴PD+PE=BE,
∵△ADC≌△BEC,
∴AD=BE,
∵在△ABD與△CBP中
,
∴△ABD≌△CBP(SAS),
∴AD=PC,
∴PD+PE=PC;
(3)如圖2中,
∵AC=4,AD=2,
∴D點(diǎn)在線段AC上,CD長度最小;D點(diǎn)在CA的延長線上,CD的長度最大,
∴4-2≤CD≤4+2,
∴2≤CD≤6.
∴CD的最大值為6,
由(1)可知△ACD≌△BCE,EC=CD,
∴EC的最大值為6.
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【題目】甲、乙兩人用如圖的兩個(gè)分格均勻的轉(zhuǎn)盤A、B做游戲,游戲規(guī)則如下:分別轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后,指針分別指向一個(gè)數(shù)字(若指針停止在等份線上,那么重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一數(shù)字為止).用所指的兩個(gè)數(shù)字相乘,如果積是奇數(shù),則甲獲勝;如果積是偶數(shù),則乙獲勝.請(qǐng)你解決下列問題:
(1)用列表格或畫樹狀圖的方法表示游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.
(2)求甲、乙兩人獲勝的概率.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC⊥AB于點(diǎn)B,連接OC交⊙O于點(diǎn)E,弦AD∥OC,弦DF⊥AB于點(diǎn)G.
(1)求證:點(diǎn)E是的中點(diǎn);
(2)求證:CD是⊙O的切線;
(3)若sin∠BAD=,⊙O的半徑為5,求DF的長.
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【題目】央視“經(jīng)典詠流傳”開播以來受到社會(huì)廣泛關(guān)注.我市某校就“中華文化我傳承——地方戲曲進(jìn)校園”的喜愛情況進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查,對(duì)收集的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩副尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所提供的信息解答下列問題:
圖中A表示“很喜歡”,B表示“喜歡”,C表示“一般”,D表示“不喜歡”.
(1)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是_____________人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中C部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為_______.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校共有學(xué)生1800人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校學(xué)生中A類有__________人;
(4)在抽取的A類5人中,剛好有3個(gè)女生2個(gè)男生,從中隨機(jī)抽取兩個(gè)同學(xué)擔(dān)任兩角色,用樹形圖或列表法求出被抽到的兩個(gè)學(xué)生性別相同的概率.
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【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為1,∠ABC=120°,E、F、P分別是AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn),則PE+PF的最小值為_____.
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【題目】觀察以下等式:
第1個(gè)等式:; 第2個(gè)等式:;
第3個(gè)等式:;第4個(gè)等式:;…
按照以上規(guī)律,解決下列問題:
(1)寫出第5個(gè)等式:_______________
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式:________________________(用含n的等式表示),并證明.
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30 |
| 2sin60° | 22 |
﹣3 | ﹣2 | ﹣sin45° | 0 |
|﹣5| | 6 | 23 | |
()﹣1 | 4 |
| ()﹣1 |
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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【題目】大學(xué)畢業(yè)生小李自主創(chuàng)業(yè),開了一家小商品超市.已知超市中某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元,售價(jià)為每件30元,每個(gè)月可賣出180件;如果每件商品的售價(jià)每上漲1元,則每個(gè)月就會(huì)少賣出10件,但每件售價(jià)必須低于34元,設(shè)每件商品的售價(jià)上漲元(為非負(fù)整數(shù)),每個(gè)月的銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(2)利用函數(shù)關(guān)系式求出每件商品的售價(jià)為多少元時(shí),每個(gè)月可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)利用函數(shù)關(guān)系式求出每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí),每個(gè)月的利潤恰好是1920元?這時(shí)每件商品的利潤率是多少?
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【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,AB=BD,點(diǎn)B、C、D、G四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓⊙O上,連接BG 并延長交AD于點(diǎn)F,連接DG并延長交AB于點(diǎn)E,BD與CG交于點(diǎn)H,連接FH,下列結(jié) 論:①AE=DF;②FH∥AB;③△DGH∽△BGE;④當(dāng)CG為⊙O的直徑時(shí),DF=AF.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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