Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：
（1）b²-4ac＞0；
（2）2a=b；
（3）點(diǎn)（-$\frac{7}{2}$，y₁）、（-$\frac{3}{2}$，y₂）、（$\frac{5}{4}$，y₃）是該拋物線上的點(diǎn)，則y₁＜y₂＜y₃；
（4）3b+2c＜0；
（5）t（at+b）≤a-b（t為任意實(shí)數(shù)）．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 逐一分析5條結(jié)論是否正確：（1）由拋物線與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)結(jié)合根的判別式即可得出該結(jié)論正確；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，即可得出b=2a，即（2）正確；（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性找出點(diǎn)（-$\frac{13}{4}$，y₃）在拋物線上，再結(jié)合拋物線對(duì)稱軸左邊的單調(diào)性即可得出（3）錯(cuò)誤；（4）由x=-3時(shí)，y＜0，即可得出3a+c＜0，結(jié)合b=2a即可得出（4）正確；（5）由方程at²+bt+a=0中△=b²-4a•a=0結(jié)合a＜0，即可得出拋物線y=at²+bt+a中y≤0，由此即可得出（5）正確．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由函數(shù)圖象可知，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac＞0，
∴（1）正確；
（2）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=-1，
∴-$\frac{2a}$=-1，
∴2a=b，
∴（2）正確；
（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，點(diǎn)（$\frac{5}{4}$，y₃）在拋物線上，
∴（-$\frac{13}{4}$，y₃）．
∵-$\frac{7}{2}$＜-$\frac{13}{4}$＜-$\frac{3}{2}$，且拋物線對(duì)稱軸左邊圖象y值隨x的增大而增大，
∴y₁＜y₃＜y₂．
∴（3）錯(cuò)誤；
（4）∵當(dāng)x=-3時(shí)，y=9a-3b+c＜0，且b=2a，
∴9a-3×2a+c=3a+c＜0，
∴6a+2c=3b+2c＜0，
∴（4）正確；
（5）∵b=2a，
∴方程at²+bt+a=0中△=b²-4a•a=0，
∴拋物線y=at²+bt+a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∵圖中拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴y=at²+bt+a≤0，
即at²+bt≤-a=a-b．
∴（5）正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式以及拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是逐一分析5條結(jié)論是否正確．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象是關(guān)鍵．