Question

【題目】某公司投資1200萬元購買了一條新生產線生產新產品．根據市場調研，生產每件產品需要成本50元，該產品進入市場后不得低于80元/件且不得超過160元/件，該產品銷售量y（萬件）與產品售價x（元）之間的關系如圖所示．

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）第一年公司是盈利還是虧損？求出當盈利最大或虧損最小時的產品售價；
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者虧損最小時，公司第二年重新確定產品售價，能否使前兩年盈利總額達790萬元？若能，求出第二年產品售價；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設y=kx+b．由圖象可得： ，

解得： ．

所以y=﹣ x+25，

故x的取值范圍是80≤x≤160．

（2）解：設該公司第一年獲利S萬元，則

S=（x﹣50）×y﹣1200=（x﹣50）（﹣ x+25）﹣1200

=﹣ x2+30x﹣2450

=﹣ （x﹣150）2﹣200≤﹣200，

所以第一年公司是虧損，且當虧損最小時的產品售價為150元/件．

（3）解：由題意可列方程（x﹣50）（﹣ x+25）+（﹣200）=790，

解得：x1=140，x2=160．

兩個x的值都在80≤x≤160內，

所以第二年售價是140元/件或160/件．

【解析】（1）根據函數圖像得到兩點的坐標，代入求出y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（2）根據題意列出等式，得到二次函數的頂點式，求出函數的最值，得到第一年公司是虧損，且當虧損最小時的產品售價；（3）根據函數的最值列出方程，求出第二年產品售價.