Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，連接EF交AP于點G．給出以下四個結論，其中正確的結論是_____．

①AE＝CF，

②AP＝EF，

③△EPF是等腰直角三角形，

④四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

根據等腰直角三角形的性質得：∠B=∠C=45°，AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可證∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即證得△APE與△CPF全等．根據全等三角形性質判斷結論是否正確，根據全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，

∴∠B＝∠C＝45°，AP⊥BC，AP＝BC＝PC＝BP，∠BAP＝∠CAP＝45°，

∵∠APF+∠FPC＝90°，∠APF+∠APE＝90°，

∴∠FPC＝∠EPA．

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE＝CF；EP＝PF，即△EPF是等腰直角三角形；故①③正確；

S△AEP＝S△CFP，

∵四邊形AEPF的面積＝S△AEP+S△APF＝S△CFP+S△APF＝S△APC＝S△ABC，

∴四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半，故④正確

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，

∴AP＝BC，

∵EF不是△ABC的中位線，

∴EF≠AP，故②錯誤；

故答案為：①③④．