Question

20．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A、C均在坐標(biāo)軸上，且OA=4，OC=3，動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；動點N從點C出發(fā)沿CB向終點B以同樣的速度移動，當(dāng)兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，過點N作NP⊥BC于點P，連接MP．
（1）直接寫出點B的坐標(biāo)，并求出點P的坐標(biāo)（用含x的式子表示）；
（2）設(shè)△OMP的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式；當(dāng)x為何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）在兩個動點運動的過程中，是否存在某一時刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性質(zhì)，得出B點坐標(biāo)，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例得出P點坐標(biāo)；
（2）利用PG以及OM的長表示出△OMP的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可；
（3）△OMP是等腰三角形時，分三種情況：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．畫出圖形，分別求出即可．

解答 解：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴B點坐標(biāo)為（4，3）．
如圖，延長NP，交OA于點G，則PG∥AB，OG=CN=x．
∵PG∥AB，
∴△OPG∽△OBA，
∴$\frac{PG}{AB}$=$\frac{OG}{OA}$，即$\frac{PG}{3}$=$\frac{x}{4}$，解得PG=$\frac{3}{4}$x，
∴點P的坐標(biāo)為（x，$\frac{3}{4}$x）；

（2）∵在△OMP中，OM=4-x，OM邊上的高為$\frac{3}{4}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3}{4}$x=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S與x之間的函數(shù)表達式為S=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜4）．
配方，得S=-$\frac{3}{8}$（x-2）²+$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)x=2時，S有最大值，最大值為$\frac{3}{2}$；

（3）存在某一時刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：
①如備用圖1，若PO=PM，則OG=GM=CN=x，
即3x=4，解得：x=$\frac{4}{3}$，
所以M（$\frac{8}{3}$，0）；
②如備用圖2，若OP=OM，則$\frac{OG}{cos∠AOB}$=OM，
即$\frac{5}{4}$x=4-x，解得：x=$\frac{16}{9}$，
所以M（$\frac{20}{9}$，0）；
③如備用圖3，若OM=PM時，
∵PG=$\frac{3}{4}$x，GM=OM-OG=（4-x）-x=4-2x，
∴PM²=PG²+GM²=（$\frac{3}{4}$x）²+（4-2x）²，
∵OM=4-x，
∴（4-x）²=（$\frac{3}{4}$x）²+（4-2x）²，解得：x=$\frac{128}{57}$，
所以，M（$\frac{384}{57}$，0）．
綜上所述，M的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，0）或（$\frac{20}{9}$，0）或（$\frac{384}{57}$，0）．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論以及方程思想是解題的關(guān)鍵．