【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與軸交于點,與軸交于點,點的坐標(biāo)為,連接.
()求證:是等邊三角形.
()點在線段的延長線上,連接,作的垂直平分線,垂足為點,并與軸交于點,分別連接、.
①如圖,若,直接寫出的度數(shù).
②若點在線段的延長線上運動(與點不重合),的度數(shù)是否變化?若變化,請說明理由;若不變,求出的度數(shù).
()在()的條件下,若點從點出發(fā)在的延長線上勻速運動,速度為每秒個單位長度,與交于點,設(shè)的面積為,的面積為,,運動時間為秒時.求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1)見解析;(2)①120°;②不變,120°;()y= (t>0).
【解析】試題分析:(1) 先求出A、B兩點,再根據(jù)兩點間坐標(biāo)公式求得AB=BC=AC,則可證△ABC為等邊三角形.
(2))①因為△ABC為等邊三角形,CP=AC,DE是AP的中垂線,故C、D、E三點共線,進而求出四邊形AEPC是菱形,可以求解;
②由于E在y軸上,即E在AC的垂直平分線上,所以EA=EC,故∠ECA=∠EAC,而E在AP的垂直平分線上,同理可求得EA=EP,即EC=EP=EA,那么∠ECP=∠EPC;由(1)知∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°,那么∠EAC、∠EPC的度數(shù)和也是120°,由此可求得∠AEP=360°-240°=120°,即∠AEP的度數(shù)不變.
(3)由于S1、S2的面積無法直接求出,因此可求(S1﹣S2)這個整體的值,將其適當(dāng)變形可得(S1+S△ACF)﹣(S2+S△ACF),即S1﹣S2的值可由△ACE和△ACP的面積差求得,過E作EM⊥PC于M,由(2)知△ECP是等腰三角形,則CM=PM=,在Rt△BEM中,∠EBM=30°,BM=6+,通過解直角三角形即可求得BE的長,從而可得到OE的長,到此,可根據(jù)三角形的面積公式表示出△ACE和△ACP的面積,從而求得S1﹣S2的表達式,由此得解.
試題解析:
(1)由一次函數(shù)y=x+3,
則A(﹣3,0),B(0,3),C(3,0).
再由兩點間距離公式可得出:AB=BC=AC=6,
∴△ABC為等邊三角形.
(2)①,連接CD,由題意得,C、D、E三點共線,
∵E點在y軸上,且A、C關(guān)于y軸對稱,
∴E點在線段AC的垂直平分線上,
即EA=EC;
∵E點在線段AP的垂直平分線上,則EA=EP,
∴EA=EP=EC,
∴∠EAC=∠ECA,∠ECP=∠EPC;
∵∠BCA=60°,即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°,
∴∠EAC+∠EPC=120°,即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°,
∴∠AEP=120°.
②連接EC,
∵E點在y軸上,且A、C關(guān)于y軸對稱,
∴E點在線段AC的垂直平分線上,
即EA=EC;
∵E點在線段AP的垂直平分線上,則EA=EP,
∴EA=EP=EC,
∴∠EAC=∠ECA,∠ECP=∠EPC;
∵∠BCA=60°,即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°,
∴∠EAC+∠EPC=120°,即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°,
故∠AEP=360°﹣240°=120°,
∴∠AEP的度數(shù)不會發(fā)生變化,仍為120°.
(3)如圖,過E作EM⊥BP于M、過A作AN⊥BP于N;
由(2)知:△CEP是等腰三角形,則有:
CM=MP=CP=;
∴BM=BC+CM=6+;
在Rt△BEM中,∠MBE=30°,則有:BE=BM=;
∴OE=BE﹣OB=﹣3=+t;
故S△AEC=ACOE=×6×(+t)=3+t,
S△ACP=PCAN=×t×3=t;
∵S△AEC=S1+S,S△ACP=S+S2,
∴S△AEC﹣S△ACP=S1+S﹣(S2+S)=S1﹣S2
=3+t﹣t=3﹣t,
即y=3﹣t.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(﹣2,0),B(4,0)兩點,頂點C到x軸的距離為2,則此拋物線的解析式為______.
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【題目】在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共40個,小麗做摸球?qū)嶒,她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色,再把它放回盒子中,不斷重復(fù)上述過程,下表是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):
摸球的次數(shù)n | 100 | 200 | 300 | 500 | 800 | 1000 | 3000 |
摸到白球的次數(shù)m | 63 | 124 | 178 | 302 | 481 | 599 | 1803 |
摸到白球的頻率 | 0.63 | 0.62 | 0.593 | 0.604 | 0.601 | 0.599 | 0.601 |
(1)請估計:當(dāng)實驗次數(shù)為10000次時,摸到白球的頻率將會接近 ;(精確到0.1)
(2)假如由你摸球一次,你摸到白球的概率P(摸到白球)= ;
(3)盒子中有黑球 個.
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【題目】按要求解一元二次方程
(1)4x2﹣8x+1=0(配方法) (2)7x(5x+2)=6(5x+2)(因式分解法)
(3)3x2+5(2x+1)=0(公式法) (4)x2﹣2x﹣8=0.
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【題目】(1)根據(jù)下列敘述填依據(jù):
已知:如圖①,AB∥CD,∠B+∠BFE=180°,求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù).
解:因為∠B+∠BFE=180°,
所以AB∥EF( ).
又因為AB∥CD,
所以CD∥EF( ).
所以∠CDF+∠DFE=180°( ).
所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠DFE+∠D=360°.
(2)根據(jù)以上解答進行探索:如圖②,AB∥EF,∠BDF與∠B,∠F有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
(3)如圖③④,AB∥EF,你能探索出圖③、圖④兩個圖形中,∠BDF與∠B,∠F的數(shù)量關(guān)系嗎?請直接寫出結(jié)果.
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【題目】在《九章算術(shù)》中有求三角形面積公式“底乘高的一半”,但是在實際丈量土地面積時,量出高并非易事,所以古人想到了能否利用三角形的三條邊長來求面積.我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶(年—年)提出了“三斜求積術(shù)”,闡述了利用三角形三邊長求三角形面積方法,簡稱秦九韶公式.在海倫(公元年左右,生平不詳)的著作《測地術(shù)》中也記錄了利用三角形三邊長求三角形面積的方法,相傳這個公式最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前年—公元前年)得出的,故我國稱這個公式為海倫一秦九韶公式.它的表達為:三角形三邊長分別為、、,則三角形的面積(公式里的為半周長即周長的一半).
請利用海倫一秦九韶公式解決以下問題:
()三邊長分別為、、的三角形面積為__________.
()四邊形中,,,,,,四邊形的面積為__________.
()五邊形中,,,,,,,五邊形的面積為__________.
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【題目】如圖,有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子,它的伙伴在離該樹12m,高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲,它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢,它最短要飛多遠?這只小鳥至少幾秒才可能到達小樹和伙伴在一起?
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【題目】某籃球運動員去年共參加40場比賽,其中3分球的命中率為0.25,平均每場有12次3分球未投中.
(1)該運動員去年的比賽中共投出多少個3分球?共投中多少個3分球?
(2)在其中的一場比賽中,該運動員3分球共出手20次,小亮說,該運動員這場比賽中一定投中了5個3分球,你認為小亮的說法正確嗎?請說明理由.
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