Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）如圖①，點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交直線BC于點E．是否存在一點P，使線段PE的長最大？若存在，求出PE長的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，過點A作y軸的平行線，交直線BC于點F，連接DA、DB．四邊形OAFC沿射線CB方向運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當點C與點B重合時立即停止運動．設運動過程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積為S，請求出S與t的函數(shù)關系式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,等腰三角形的性質,平行四邊形的性質

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）應用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，然后化為頂點式即可求得頂點的坐標．
（2）先求得直線BC的解析式，設P（x，-x²+4x-3），則F（x，x-3），根據(jù)PF等于P點的縱坐標減去F點的縱坐標即可求得PF關于x的函數(shù)關系式，從而求得P的坐標和PF的最大值；
（3）在運動過程中，分三種情形，需要分類討論，避免漏解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
∴

9a+3b+c=0 a+b+c=0 c=-3

，
解得

a=-1 b=4 c=-3

，
∴拋物線的解析式：y=-x²+4x-3，
由y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
可知：頂點D的坐標（2，1）．

（2）存在；
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
則

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
設P（x，-x²+4x-3），則E（x，x-3），
∴PE=（-x²+4x-3）-（x-3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴當x=

3

2

時，PF有最大值為

9

4

．
∴存在一點P，使線段PE的長最大，最大值為

9

4

．

（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），
∴可求得直線AD的解析式為：y=x-1；
直線BC的解析式為：y=x-3．
∴AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°．
∵AF∥y軸，
∴F（1，-2），
∴AF=2．
①當0≤t≤

2

時，如答圖1-1所示．
此時四邊形AFF′A′為平行四邊形．

設A′F′與x軸交于點K，則AK=

2

2

AA′=

2

2

t．
∴S=S_?AFF′A′=AF•AK=2×

2

2

t=

2

t；
②當

2

＜t≤2

2

時，如答圖1-2所示．
設O′C′與AD交于點P，A′F′與BD交于點Q，
則四邊形PC′F′A′為平行四邊形，△A′DQ為等腰直角三角形．

∴S=S_{?PC′F′A′}-S_△A′DQ=2×1-

1

2

（t-

2

）²=-

1

2

t²+

2

t+1；
③當2

2

＜t≤3

2

時，如答圖1-3所示．
設O′C′與BD交于點Q，則△BC′Q為等腰直角三角形．

∵BC=3

2

，CC′=t，
∴BC′=3

2

-t．
∴S=S_△BC′Q=

1

2

（3

2

-t）²=

1

2

t²-3

2

t+9．
綜上所述，S與t的函數(shù)關系式為：
S=

2 t(0≤t≤ 2 ) - 1 2 t2+ 2 t+1( 2 ＜t≤2 2 ) 1 2 t2-3 2 t+9(2 2 ＜t≤3 2 )

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法求解析式、最值、平行四邊形、等腰直角三角形、圖形面積計算等知識點．第（2）問的解題要點是列出線段PE的表達式；第（3）問的解題要點是分類討論的數(shù)學思想及圖形面積的計算．