Question

【題目】閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點(diǎn)與的“非常距離”，給出如下定義：

若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為；

若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為．

例如：點(diǎn)，點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點(diǎn)為垂直于軸的直線與垂直于軸的直線的交點(diǎn)）．

（1）已知點(diǎn)，為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①若點(diǎn)（0，3），則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為　　 ；

②若點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為2，則點(diǎn)的坐標(biāo)為　　 ；

③直接寫出點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”的最小值為　　 ；

（2）已知點(diǎn)（0，1），點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖2，求點(diǎn)與點(diǎn)“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①3；②B（0，2）或（0，﹣2）；③；（2）最小值為， ．

【解析】

(1)①根據(jù)若,則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為解答即可;
②根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上,可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為.由“非常距離”的定義可以確定,據(jù)此可以求得y的值;
③設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)?/span>,所以點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為;

(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為.根據(jù)材料“若,則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為”,此時(shí)，列出再求解,據(jù)此可以求得最小值和點(diǎn)C的坐標(biāo).

解：（1）① ，.

∵ ，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為3．

② ∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．

∵，∴.

解得，y＝2或y＝﹣2；

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，﹣2）.

③ 點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為．

（2）如圖2，取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時(shí)，

需要根據(jù)運(yùn)算定義“若，則點(diǎn)與點(diǎn)的‘非常距離’為”解答，此時(shí).

∵是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），

∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

∴或，∴或.

∵ ，∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為，

此時(shí)．