Question

已知，如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)點(diǎn)是DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AF交BD于O，交BC于E．求證：
（1）OA²=OE•OF；
（2）BE：AB=BC：DF．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）證明△AOD∽△EOB，△DOF∽△BOA，得到

OF

OA

=

OD

OB

，

OA

OE

=

OD

OB

，即可解決問(wèn)題．
（2）證明

BE

AB

=

AD

DF

；證明BC=AD，即可解決問(wèn)題．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥DF、AD∥BC，
∴△AOD∽△EOB，△DOF∽△BOA，
∴

OF

OA

=

OD

OB

，

OA

OE

=

OD

OB

，
∴

OF

OA

=

OA

OE

，
即OA²=OE•OF．
（2）∵△AOD∽△EOB，△DOF∽△BOA，
∴

AD

BE

=

DO

OB

，

DF

AB

=

DO

OB

，
∴

AD

BE

=

DF

AB

，
∴

BE

AB

=

AD

DF

；
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC=AD，
∴BE：AB=BC：DF．

點(diǎn)評(píng)：該題以平行四邊形為載體，以考查相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了一定的要求．