【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+2x+cx軸交A(﹣1,0),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為點(diǎn)E.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P為直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí),求△PCD的面積;

(3)點(diǎn)N在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上,點(diǎn)Mx軸上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使以M,N,C,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)(不寫(xiě)求解過(guò)程);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) y=﹣x+2x+3;(2)1;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由點(diǎn) A,C 的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式;(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn) B 的坐標(biāo),利用配方法可求出頂點(diǎn) E 的坐標(biāo),由點(diǎn) B,C 的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn) BC 的解析式, 利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn) D 的坐標(biāo),再利用三角形的面積公式即可求出當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) E 時(shí)PCD 的面積;(3)設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(m,0),點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(1,n),分四邊形 CBMN 為平行四邊形、四邊形 CMNB 為平行四邊形及四邊形 CMBN 為平行四邊形三種情況,利用平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于 m 的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論.

(1)將 A(﹣1,0),C(0,3)代入 y=ax2+2x+c,得:

,解得: ,

∴拋物線(xiàn)的解析式為 y=﹣x2+2x+3.

(2)當(dāng) y=0 時(shí),有﹣x2+2x+3=0, 解得:x1=﹣1,x2=3,

∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(3,0).

y=﹣x2+2x+3=﹣x﹣12+4,

∴點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(1,4).

設(shè)過(guò) B,C 兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析式為 y=kx+b(k≠0),將 B(3,0),C(0,3)代入 y=kx+b,得:,解得: ,

∴直線(xiàn) BC 的解析式為 y=﹣x+3.

∵點(diǎn) D 是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn),

∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(1,2),

DE=2,

∴當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) E 時(shí),PCD 的面積=×2×1=1.

(3)設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(m,0),點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(1,n).分三種情況考慮:

①當(dāng)四邊形 CBMN 為平行四邊形時(shí),有 1﹣0=m﹣3, 解得:m=4,

∴此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(4,0);

②當(dāng)四邊形 CMNB 為平行四邊形時(shí),有 m﹣1=0﹣3, 解得:m=﹣2,

∴此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(﹣2,0);

③當(dāng)四邊形 CMBN 為平行四邊形時(shí),有 0﹣1=m﹣3, 解得:m=2,

∴此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2,0).

綜上所述:存在這樣的點(diǎn) M 與點(diǎn) N,使以 M,N,C,B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(4,0)或(﹣2,0)或(2,0).

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