Question

淮安華宇公司獲得授權生產(chǎn)某種奧運紀念品，經(jīng)市場調(diào)查分析，該紀念品的銷售量y₁（萬件）與紀念品的價格x（元/件）之間的函數(shù)圖象如圖，該公司紀念品的生產(chǎn)數(shù)量y₂（萬件）與紀念品的價格x（元/件）近似滿足函數(shù)關系式y(tǒng)₂=-

3

2

x+85，若每件紀念品的價格不小于20元，且不大于40元．
請解答下列問題：
（1）求y₁與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）若每件紀念品的成本為15元，則價格應定為多少元時，能獲得最大利潤？并求出此時的最大利潤．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）此函數(shù)為分段函數(shù)，所以要按照自變量的取值范圍來不同對待，可根據(jù)圖中的信息運用待定系數(shù)法求出函數(shù)的關系式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關系式以及自變量的取值范圍的不同分別根據(jù)利潤=每一件的銷售利潤×銷售件數(shù)列出函數(shù)解析式，利用性質探討答案即可．

解答：解：（1）當20≤x≤36時，
設y₁與x的函數(shù)解析式為：y=kx+b，將點A（20，60）、B（36，28）代入y=kx+b得：

60=20k+b 28=36k+b

．
解得：

k=-2 b=100

，
∴y₁與x的函數(shù)關系式為：y₁=-2x+100；
當36≤x≤40時，
y₁=28．
（2）設銷售總利潤為W，
當20≤x≤36時，
W=（-2x+100）（x-15）=-2x²+130x-1500=-2（x-

65

2

）²+612.5；
當x=32.5時，y最大值為612.5；
當36≤x≤40時，
W=（-

3

2

x+85）（x-15）=-

3

2

x²+

215

2

x-1245，
a＜0，
當36≤x≤40，y隨著x的增大而減小，所以當x=36時，y最大為651．
因此價格應定為36元時，能獲得最大利潤，此時的最大利潤是651萬元．

點評：此題考查二次函數(shù)的實際運用，借助函數(shù)圖象表達題目中的信息，讀懂圖象是關鍵．本題要注意分段函數(shù)的性質和應用．