Question

已知一次函數(shù)y=-

4

3

x+8的圖象與y軸、x軸的交點分別為A、B兩點，C點坐標為（-2，0），二次函數(shù)圖象經(jīng)過A、B、C三點．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）P點為直線上方二次函數(shù)圖象上的動點，過P點作x軸平行線交一次函數(shù)圖象于點D，過P點作x軸垂線，垂足為F點，交一次函數(shù)于點E；
（Ⅰ）如圖①，設P點橫坐標為m，試用m表示出△DEP周長的表達式，并求△DEP周長的最大值；
（Ⅱ）如圖②，過A點作PF的垂線，垂足為M，以A、M、E為頂點作平行四邊形，設第四個頂點為Q，當Q點坐標為何值時，Q點落在二次函數(shù)圖象上．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分別令x=0，y=0，解一元一次方程即可A，B的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）設P點橫坐標為m，則P（m，-

2

3

m²+

8

3

m+8），E（m，-

4

3

m+8），D（

1

2

m²-2m，-

2

3

m²+

8

3

m+8），求得PD、PE、DE的長，根據(jù)周長公式列出等式即可求得
用m表示的△DEP周長的表達式；
（3）因為以A、M、E為頂點作平行四邊形只有一種情況，就是過E點平行x軸交拋物線的點，根據(jù)題意可知Q點的橫坐標等于2m，然后根據(jù)E、Q點的縱坐標相等列出方程，解這個方程即可求得m的值，進而求得Q的坐標．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-

4

3

x+8的圖象與y軸、x軸的交點分別為A、B兩點，
令y=0，則0=-

4

3

x+8，解得：x=6，
∴B（6，0），
令x=0，則y=8，
∴A（0，8），
∵C點坐標為（-2，0），設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
則

36a+6b+c=0 c=8 4a-2b+c=0

，
解得：

a=- 2 3 b= 8 3 c=8

∴拋物線的解析式：y=-

2

3

x²+

8

3

x+8，

（2）（Ⅰ）如圖①，設P點橫坐標為m，則P（m，-

2

3

m²+

8

3

m+8），E（m，-

4

3

m+8），D（

1

2

m²-2m，-

2

3

m²+

8

3

m+8），
∵PD=m-（

1

2

m²-2m）=-

1

2

m²+3m，PE=-

2

3

m²+

8

3

m+8-（-

4

3

m+8）=-

2

3

m²+4m，
∴DE²=（-

1

2

m²+3m）²+（-

2

3

m²+4m）²=

25

36

（m²-6m）²，
∴DE=

5

6

（m²-6m），
∴△DEP周長=-

1

2

m²+3m-

2

3

m²+4m+

5

6

（m²-6m）=-

1

3

m²+2m，
∵△DEP周長=-

1

3

m²+2m=-

1

3

（m-3）²+3，
∴△DEP周長的最大值是3；

（Ⅱ）過E點作x軸的平行線交拋物線于Q，
設P點橫坐標為m，
∴E（m，-

4

3

m+8），M（m，8），
∴AM=m，
∵四邊形AEQM是平行四邊形，AM∥EQ∥x軸，
∴EQ=AE=m，
∴Q的橫坐標為2m，代入拋物線的解析式y(tǒng)=-

8

3

m²+

16

3

m+8，
∴Q點的縱坐標為-

8

3

m²+

16

3

m+8，
∵Q點的縱坐標=E點的縱坐標，
∴-

8

3

m²+

16

3

m+8=-

4

3

m+8，
解得m=

5

2

，m=0（舍去），
∴Q（5，

14

3

）．

點評：本題考查了直線與坐標軸的交點坐標，待定系數(shù)法求解析式，坐標系中三角形周長的求法，以及在坐標系中平行四邊形的判定的方法等．