Question

已知：sinα+cosα=m，求證：sinα和cosα是關于x的方程2x²-2mx+m²-1的實數(shù)根．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,同角三角函數(shù)的關系

專題：證明題

分析：把sinα+cosα=m兩邊平方得到sin²α+2sinα•cosα+cos²α=m²，根據(jù)同角三角函數(shù)的關系得1+2sinα•cosα=m²，所以sinα•cosα=

m2-1

2

，加上sinα+cosα=m，于是可根據(jù)根與系數(shù)的關系判斷sinα和cosα是關于x的方程2x²-2mx+m²-1的實數(shù)根．

解答：證明：∵sinα+cosα=m，
∴（sinα+cosα）²=m²，
∴sin²α+2sinα•cosα+cos²α=m²，
∴1+2sinα•cosα=m²，
∴sinα•cosα=

m2-1

2

，
而sinα+cosα=m，
∴sinα和cosα是關于x的方程2x²-2mx+m²-1的實數(shù)根．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了同角三角函數(shù)的關系．