Question

3．已知一個零刻度落在點A的量角器（半圓O）的直徑為AB，等腰直角△BCD繞點B旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)?shù)妊�直角△BCD運動至斜邊BD交量角器邊緣于點G，直角邊CD交量角器邊緣于點E，F(xiàn)，第三邊交量角器邊緣于點H時，點G在量角器上的讀數(shù)為20°，求此時點H在量角器上的讀數(shù)．
（2）如圖2，當(dāng)點G，E在量角器上的讀數(shù)α，β滿足什么關(guān)系時，等腰直角△BCD的直角邊CD會與半圓O相切于點E？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OG、OH．由題意可知：∠AOG=20°，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求得∠CBD=45°，接下來，依據(jù)圓周角定理可求得∠HOG=90°，最后依據(jù)∠AOH=∠AOG+∠GOH求解即可；
（2）連接OG、OE．先由切線的性質(zhì)證明OE⊥DC，然后依據(jù)平行線的判定定理可證明EO∥CB，接下來依據(jù)平行線的性質(zhì)和可得到∠EOA=∠CBA，最后結(jié)合圓周角定理以及∠ABC、∠ABG、∠DBC的關(guān)系可得到α、β的關(guān)系．

解答 解：（1）如圖1所示：連接OG、OH．

∵點G在量角器上的讀數(shù)為20°，
∴∠AOG=20°．
∵△BCD為等腰直角三角形，
∴∠CBD=45°．
∴∠HOG=90°．
∴∠AOH=∠AOG+∠GOH=20°+90°=110°．
（2）如圖2所示：連接OG、OE．

∵DC為圓O的切線，E為切點，
∴∠OED=90°．
∴∠OED=∠C．
∴EO∥CB．
∴∠EOA=∠CBA=β．
又∵∠GBA=$\frac{1}{2}$∠GOA=$\frac{1}{2}$α，∠ABC=∠ABG+∠DBC，
∴β=$\frac{1}{2}α$+45°．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用，正確∠AOE=∠CBA=∠ABG+∠DBC是解題的關(guān)鍵．