【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,CEBCAD于點(diǎn)E,連接BE,點(diǎn)FBE上一點(diǎn),連接CF

1)如圖1,若∠ECD30°BC4,DC2,求tanCBE的值;

2)如圖2,若BCEC,過點(diǎn)EEMCF,交CF延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,延長(zhǎng)ME、CD相交于點(diǎn)G,連接BGCM于點(diǎn)NCMMG

①在射線GM上是否存在一點(diǎn)P,使得BCP≌△ECG?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置并證明這對(duì)全等三角形;若沒有,請(qǐng)說明理由.

②求證:EG2MN

【答案】(1);(2)①詳見解析;②詳見解析.

【解析】

(1)由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出∠BCE=∠CED90°,由直角三角形的性質(zhì)得出DECD1,CE,由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果;

2由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠MCG=∠MGC45°,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出CPCG,得出∠CPM=∠CGM45°,求出∠PCG90°,得出∠BCP=∠ECG,由SAS證明△BCP≌△ECG即可;

由全等三角形的性質(zhì)得出BPEG,∠BPC=∠EGC45°,得出∠BPG90°,證出BPMN,得出BNGN,MN是△PBG的中位線,由三角形中位線定理得出BP2MN,即可得出結(jié)論.

1)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

ADBC

CEBC,

CEAD

∴∠BCE=∠CED90°,

∵∠ECD30°DC2,

DECD1

CE,

tanCBE;

2)①解:在射線GM上存在一點(diǎn)P,MPMG時(shí),△BCP≌△ECG;理由如下:

如圖2所示:

CMMG,

∴△CMG是等腰直角三角形,

∴∠MCG=∠MGC45°,

MPMGEMCF,

CPCG,

∴∠CPM=∠CGM45°,

∴∠PCG90°,

CPCG

∵∠BCE=∠PCG90°,

∴∠BCP=∠ECG,

在△BCP和△ECG中,

,

∴△BCP≌△ECGSAS);

②證明:由①得:△BCP≌△ECG,

BPEG,∠BPC=∠EGC45°,

∴∠BPG90°,

BPMN,

PMGM

BNGN,

MN是△PBG的中位線,

BP2MN,

EG2MN

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A. B.

C. D.

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(1)證明與推斷:

①求證:四邊形CEGF是正方形;

②推斷:的值為   

(2)探究與證明:

將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AGBE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由:

(3)拓展與運(yùn)用:

正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)B,E,F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí),如圖(3)所示,延長(zhǎng)CGAD于點(diǎn)H.若AG=6,GH=2,則BC=   

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