【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.
(1)觀察猜想:圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;
(2)探究證明:把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請直接寫出△PMN面積的最大值.
【答案】(1)PM=PN,PM⊥PN;(2)△PMN是等腰直角三角形,證明詳見解析;(3).
【解析】
(1)利用三角形的中位線得出PM=CE,PN=BD,進(jìn)而判斷出BD=CE,即可得出結(jié)論,再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出結(jié)論;
(3)方法1、先判斷出MN最大時,△PMN的面積最大,進(jìn)而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面積公式即可得出結(jié)論.
方法2、先判斷出BD最大時,△PMN的面積最大,而BD最大是AB+AD=14,即可.
解:(1)∵點P,N是BC,CD的中點,
∴PN∥BD,PN=BD,
∵點P,M是CD,DE的中點,
∴PM∥CE,PM=CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴PM⊥PN,
故答案為:PM=PN,PM⊥PN;
(2)△PMN是等腰直角三角形.
由旋轉(zhuǎn)知,∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
利用三角形的中位線得,PN=BD,PM=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
同(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形;
(3)方法1:如圖2,
同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴MN最大時,△PMN的面積最大,
∴DE∥BC且DE在頂點A上面,
∴MN最大=AM+AN,
連接AM,AN,
在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=,
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=,
∴MN最大=,
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×()2=;
方法2:由(2)知,△PMN是等腰直角三角形,PM=PN=BD,
∴PM最大時,△PMN面積最大,
∴點D在BA的延長線上,
∴BD=AB+AD=14,
∴PM=7,
∴S△PMN最大=PM2=×72=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中學(xué)生上學(xué)帶手機(jī)的現(xiàn)象越來越受到社會的關(guān)注,為此媒體記者隨機(jī)調(diào)查了某校若干名學(xué)生上學(xué)帶手機(jī)的目的,分為四種類型:A接聽電話;B收發(fā)短信;C查閱資料;D游戲聊天.并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1和圖2的統(tǒng)計圖(不完整),請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)將圖1、圖2補(bǔ)充完整;
(3)現(xiàn)有4名學(xué)生,其中A類兩名,B類兩名,從中任選2名學(xué)生,求這兩名學(xué)生為同一類型的概率(用列表法或樹狀圖法).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平行四邊形中,對角線、交于點,,,點從點出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動,速度為;同時,點從點出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動,速度為;當(dāng)一個點停止運(yùn)動時,另一個點也停止運(yùn)動.連接,過點作,設(shè)運(yùn)動時間為,
解答下列問題:
(1)當(dāng)為何值時是等腰三角形?
(2)設(shè)五邊形面積為,試確定與的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在運(yùn)動過程中,是否存在某一時刻,使?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(4)在運(yùn)動過程中,是否存在某一時刻使得平分,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB=AC,點D在⊙O上,AD⊥AB于點A, AD與 BC交于點E,F在DA的延長線上,且AF=AE.
(1)求證:BF是⊙O的切線;
(2)若AD=4,,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=2,∠DAB=60°,E在AB上,且AE=EB,F是BC的中點,過D分別作DP⊥AF于P,DQ⊥CE于Q,則DP:DQ的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c(b,c是常數(shù))經(jīng)過A(0,2)、B(4,0)兩點.
(1)求該拋物線的解析式和頂點坐標(biāo);
(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這條拋物線于N,求當(dāng)t取何值時,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(1)的情況下,以A、M、N、D為頂點作平行四邊形,請直接寫出第四個頂點D的所有坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果,不必寫解答過程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】紅旗連鎖超市準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種綠色袋裝食品.甲、乙兩種綠色袋裝食品的進(jìn)價和售價如表.已知:用2000元購進(jìn)甲種袋裝食品的數(shù)量與用1600元購進(jìn)乙種袋裝食品的數(shù)量相同.
甲 | 乙 | |
進(jìn)價(元/袋) | ||
售價(元/袋) | 20 | 13 |
(1)求的值;
(2)要使購進(jìn)的甲、乙兩種綠色袋裝食品共800袋的總利潤(利潤=售價-進(jìn)價)不少于4800元,且不超過4900元,問該超市有幾種進(jìn)貨方案?
(3)在(2)的條件下,該超市如果對甲種袋裝食品每袋優(yōu)惠元出售,乙種袋裝食品價格不變.那么該超市要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交軸于兩點,交軸于點,點的坐標(biāo)為,頂點的坐標(biāo)為.
(1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式;
(2)點是直線上的一個動點,過點作軸的垂線,交拋物線于點,當(dāng)點在第一象限時,求線段長度的最大值;
(3)在拋物線上是否存在異于的點,使中邊上的高為,若存在求出點的坐標(biāo);若不存在請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,等邊△ABC的邊長為4,點D是BC邊上一動點,且CE=BD,連接AD,BE,AD與BE相交于點P,連接PC.則線段PC的最小值等于_____.
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