Question

如圖，正方形A₁B₁B₂C₁，A₂B₂B₃C₂，A₃B₃B₄C₃，…，A_nB_nB_n+1C_n，按如圖所示放置，使點(diǎn)A₁、A₂、A₃、A_4、…、A_n在射線OA上，點(diǎn)B₁、B₂、B₃、B_4、…、B_n在射線OB上．若∠AOB=45°，OB₁=1，圖中陰影部分三角形的面積由小到大依次記作S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得A₁C₁=A₁B₁=OB₁=1，然后求出A₂B₂，同理得到A₂C₂=A₂B₂=OB₂=2，求出A₃B₃，A₃C₃=A₃B₃=OB₃=4，…表示出第n個(gè)陰影部分的三角形的直角邊A_nC_n，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解．

解答：解：∵正方形A₁B₁B₂C₁，∠AOB=45°，
∴A₁C₁=A₁B₁=OB₁=1，
∴A₂B₂=1+1=2，
同理可得A₂C₂=A₂B₂=OB₂=2，
所以，A₃B₃=1+1+2=4，
A₃C₃=A₃B₃=OB₃=4，
…，
所以，第n個(gè)陰影部分的三角形的直角邊A_nC_n=2^n-1，
所以，S_n=

1

2

×2^n-1×2^n-1=2^2n-3．
故答案為：2^2n-3．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并表示出相等的線段從而得到陰影部分三角形的直角邊是解題的關(guān)鍵．