Question

如圖，正方形A₁B₁B₂C₁，A₂B₂B₃C₂，A₃B₃B₄C₃，…，A_nB_nB_n+1C_n，按如圖所示放置，使點A₁、A₂、A₃、A_4、…、A_n在射線OA上，點B₁、B₂、B₃、B_4、…、B_n在射線OB上．若∠AOB=45°，OB₁=1，圖中陰影部分三角形的面積由小到大依次記作S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S_n=

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)正方形的性質和等腰直角三角形的性質可得A₁C₁=A₁B₁=OB₁=1，然后求出A₂B₂，同理得到A₂C₂=A₂B₂=OB₂=2，求出A₃B₃，A₃C₃=A₃B₃=OB₃=4，…表示出第n個陰影部分的三角形的直角邊A_nC_n，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解．

解答：解：∵正方形A₁B₁B₂C₁，∠AOB=45°，
∴A₁C₁=A₁B₁=OB₁=1，
∴A₂B₂=1+1=2，
同理可得A₂C₂=A₂B₂=OB₂=2，
所以，A₃B₃=1+1+2=4，
A₃C₃=A₃B₃=OB₃=4，
…，
所以，第n個陰影部分的三角形的直角邊A_nC_n=2^n-1，
所以，S_n=

1

2

×2^n-1×2^n-1=2^2n-3．
故答案為：2^2n-3．

點評：本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，熟記各性質并表示出相等的線段從而得到陰影部分三角形的直角邊是解題的關鍵．