【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點的坐標為,點的坐標為,拋物線經(jīng)過、、三點,連接、、,線段軸于點,已知實數(shù)分別是方程的兩根.

1)求拋物線的解析式;

2)若點為線段上的一個動點(不與點、重合),直線與拋物線交于、兩點(點軸右側(cè)),連接、.

①求面積的最大值,并寫出此時點的坐標;②當(dāng)為等腰三角形時,請直接寫出點的坐標.

【答案】1)拋物線的解析式為:;(2)①△OBD面積最大值為,此時點D);②點P)或()或(

【解析】

1)解方程即可求得AB的坐標,代入即可求得拋物線的解析式;

2)①過DDGx軸于G,交OB于點Q,過點BBHx軸于H,用d表示D點和Q點的坐標,根據(jù),可得Sd的關(guān)系式,進而可得的最大值以及此時點D的坐標;②求出直線AB的解析式,即可得OC的長度,設(shè)點Pp,-p)對OPC為等腰三角形的情況分類討論:(1OP=OC;(2OP=PC,;(3OC=PC,分別根據(jù)兩點間距離公式以及線段垂直平分線的性質(zhì)求出p的值即可求得點P的坐標.

解:(1)∵

m<n

m=-1,n=3

又∵拋物線過點O0,0

所以將A-1,-1),B3,-3)代入拋物線解析式中,

可得

解得

∴拋物線的解析式為:.

2)①如下圖所示,過DDGx軸于G,交OB于點Q,過點BBHx軸于H,

設(shè)點Dd,),

易得直線OB的解析式為:y=-x

Qd,-d

=

=

=

=

=

∴當(dāng)時,取最大值,最大值為,此時D

故△OBD面積最大值為,此時點D.

②設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+b,將點A-1,-1),B3,-3)代入得:

,解得

∴直線AB的解析式為:

x=0得:y=

OC=

同理可知直線OB的解析式為:y=-x

∴設(shè)點Pp,-p)且p>0

根據(jù)兩點間距離公式對△OPC為等腰三角形的情況分類討論:

1OP=OC,∴OP=

p=(舍去)或p=

∴點P

2OP=PC,∴P在線段OC中垂線上

P的縱坐標為

又點POB

P

3OC=PC,∴PC=

解得:p=0(舍去)或p=

∴點P

綜上所述:點P)或()或(.

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