Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點（不與點A，B重合），過點C作AB的垂線交⊙O于點D，垂足為E點．

（1）如圖1，當AE=4，BE=2時，求CD的長度；

（2）如圖2，連接AC，BD，點M為BD的中點．求證：ME⊥AC．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）先求出半徑，然后利用勾股定理求出CE的長度，最后利用垂徑定理即可求出CD的長度；

（2）延長ME與AC交于點N，先利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠CEN=∠DEM=∠D，然后利用∠B=∠C，得出，則∠CNE =90°，則結(jié)論可證．

解：（1）如圖1，連接OC．

∵ AE=4，BE=2，

∴AB =6，

∴CO =AO=3，

∴OE =AE-AO=1，

∵CD⊥AB，

∴ CE=

∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，

∴CE=DE，

∴ CD=2CE=．

（2）證明：如圖2，延長ME與AC交于點N．

∵CD⊥AB，

∴∠BED=90°．

∵ M為BD中點，

∴EM =BD =DM，

∴∠DEM=∠D，

∴∠CEN=∠DEM=∠D．

∵∠B=∠C，

∴∠CNE =90°，

即ME⊥AB．