Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，第一個(gè)正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作第二個(gè)正方形A₁B₁C₁C；延長(zhǎng)C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作第三個(gè)正方形A₂B₂C₂C₁，…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2016個(gè)正方形的面積為（　　）

• A． 20×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³⁰
• B． 20×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³²
• C． 20×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁶
• D． 20×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵

Answer 1

分析 先求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)和面積，再求出第一個(gè)正方形A₁B₁C₁C的面積，得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求出第2016個(gè)正方形的面積．

解答 解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），
∴OA=2，OD=4
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S_{正方形ABCD}=$（2\sqrt{5}）^{2}$=20，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}=\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
∴BA₁=$\sqrt{5}$，
∴CA₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴正方形A₁B₁C₁C的面積=$（\frac{3}{2}×\sqrt{20}）^{2}$=20×$（\frac{3}{2}）^{2}$…，第n個(gè)正方形的面積為$20×（\frac{3}{2}）^{2n-2}$，
∴第2016個(gè)正方形的面積$20×（\frac{3}{2}）^{4030}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；通過(guò)求出正方形ABCD和正方形A₁B₁C₁C的面積得出規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．