Question

如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC上的點(diǎn)連接AE．作BF⊥AE垂足為H，交CD于F作CG∥AE，交BF于G．求證：
（1）CG=BH；
（2）FC²=BF•GF．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，再利用同角的余角相等求出∠BAH=∠CBG，再利用“角角邊”證明△ABH和△BCG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=BH；
（2）利用兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似求出△BCF和△CGF相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得證．

解答：證明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABH+∠CBG=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，
在△ABH和△BCG中，

∠BAH=∠CBG ∠AHB=∠BGC=90° AB=BC

，
∴△ABH≌△BCG（AAS），
∴CG=BH；

（2）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵∠BFC=∠CFG，∠BCD=∠CGF=90°，
∴△BCF∽△CGF，
∴

FC

GF

=

BF

FC

，
∴FC²=BF•GF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵，（2）確定出CG⊥BF并求出三角形相似是解題的關(guān)鍵．