Question

如圖，已知正方形ABCD，在AD、AC上分別取E、F兩點，使ED：AD=2FC：AC，求證：△BEF是等腰直角三角形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：過F作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，求出EG=FH，BH=FG，證出RT△BHF≌RT△FGE，推出BF=EF，∠EFG=∠FBH，求出∠EFB=90°，即可得出答案．

解答：證明：過F作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，
則有GD：AD=FC：AC①，
而已知ED：AD=2FC：AC②，
由①②得ED=2GD，
即EG=GD（G為ED中點），
即EG=GD=HC=FH，
∵BH=BC-HC且GF=GH-FH，GH=CD=BC，
∴BH=GF，
在RT△BHF和RT△FGE中

BH=GF ∠EGF=∠EGF=90° FH=EG

∴RT△BHF≌RT△FGE（SAS），
∴BF=EF，∠EFG=∠FBH，
∵∠EGF=90°，
∴∠GEF+∠EFG=90°，
∴∠EFG+∠BFH=90°，
∴∠EFB=180°90°=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．