【題目】如圖①,OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片,O為原點,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.

(1)在OC邊上取一點D,將紙片沿AD翻折,使點O落在BC邊上的點E處,則D點的坐標;E點的坐標
(2)如圖②,若AE上有一動點P(不與A、E重合)自A點沿AE方向向E點勻速運動,運動的速度為每秒1個單位長度,設運動的時間為t秒(0<t<5),過P點作ED的平行線交AD于點M,過點M作AE的平行線交DE于點N.求四邊形PMNE的面積S與時間t之間的函數(shù)關系式;t取何值時,S有最大值,最大值是多少?
(3)在(2)的條件下,當t為何值時,以A、M、E為頂點的三角形為等腰三角形,并求出相應時刻點M的坐標.

【答案】
(1)(0,2.5),(2,4)
(2)解:∵PM∥ED,

∴△APM∽△AED.

∴PM:ED=AP:AE,

∴PM= ,

又∵AP=t,ED=2.5,AE=5,

∴PM= = t,

∵PM∥DE,MN∥EP,

∴四邊形NMPE為平行四邊形.

又∵∠DEA=90°,

∴四邊形PMNE為矩形.

∴S矩形PMNE=PMPE= t(5﹣t)=﹣ t2+ t.

∴S矩形PMNE=﹣ (t﹣ 2+ ,

又∵0< <5.

∴當t= 時,S矩形PMNE有最大值


(3)解:(Ⅰ)若以AE為等腰三角形的底,則ME=MA(如圖①)

在Rt△AED中,ME=MA,

∵PM⊥AE,

∴P為AE的中點,

∴t=AP= AE=2.5.

又∵PM∥ED,

∴M為AD的中點.

過點M作MF⊥OA,垂足為F,則MF是△OAD的中位線,

∴MF= OD= ,OF= OA=2.5,

∴當t=2.5時,(0<2.5<5),△AME為等腰三角形.

此時M點坐標為(2.5,1.25).

(Ⅱ)若以AE為等腰三角形的腰,則AM=AE=5(如圖②)

在Rt△AOD中,AD= =

過點M作MF⊥OA,垂足為F.

∵PM∥ED,

∴△APM∽△AED.

∴AP:AE=AM:AD.

∴t=AP= =2

∴PM= t=

∴MF=MP= ,OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2

∴當t=2 時,(0<2 <5),此時M點坐標為(5﹣2 , ).

(Ⅲ)根據(jù)圖形可知EM=EA的情況不成立.

綜合綜上所述,當t=2.5或t=2 時,以A,M,E為頂點的三角形為等腰三角形,相應M點的坐標為( , )或(5﹣2 ).


【解析】解:(1)依題意可知,折痕AD是四邊形OAED的對稱軸,

∵在Rt△ABE中,AE=AO=5,AB=4,BE= =3.

∴CE=2.

∴E點坐標為(2,4).

在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,

又∵DE=OD.

∴(4﹣OD)2+22=OD2

解得:OD=2.5.

∴D點坐標為(0,2.5).

所以答案是:(0,2.5),(2,4);

【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念的相關知識點,需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題.

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∴∠ADB=∠EFB90°   ,

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   +2180°   ).

又∵∠2+3180°(已知),

∴∠1=∠3   ),

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∴∠GDC=∠B   ).

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