【題目】已知:點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(點P不與點A、C重合),分別過點A、C向直線BP作垂線,垂足分別為點E、F,點O為AC的中點.

(1)當(dāng)點P與點O重合時如圖1,易證OE=OF(不需證明)
(2)直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠OFE=30°時,如圖2、圖3的位置,猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你對圖2、圖3的猜想,并選擇一種情況給予證明.

【答案】
(1)

解:∵AE⊥PB,CF⊥BP,

∴∠AEO=∠CFO=90°,

在△AEO和△CFO中,

,

∴△AOE≌△COF,

∴OE=OF.


(2)

解:圖2中的結(jié)論為:CF=OE+AE.

圖3中的結(jié)論為:CF=OE﹣AE.

選圖2中的結(jié)論證明如下:

延長EO交CF于點G,

∵AE⊥BP,CF⊥BP,

∴AE∥CF,

∴∠EAO=∠GCO,

在△EOA和△GOC中,

,

∴△EOA≌△GOC,

∴EO=GO,AE=CG,

在RT△EFG中,∵EO=OG,

∴OE=OF=GO,

∵∠OFE=30°,

∴∠OFG=90°﹣30°=60°,

∴△OFG是等邊三角形,

∴OF=GF,

∵OE=OF,

∴OE=FG,

∵CF=FG+CG,

∴CF=OE+AE.

選圖3的結(jié)論證明如下:

延長EO交FC的延長線于點G,

∵AE⊥BP,CF⊥BP,

∴AE∥CF,

∴∠AEO=∠G,

在△AOE和△COG中,

∴△AOE≌△COG,

∴OE=OG,AE=CG,

在RT△EFG中,∵OE=OG,

∴OE=OF=OG,

∵∠OFE=30°,

∴∠OFG=90°﹣30°=60°,

∴△OFG是等邊三角形,

∴OF=FG,

∵OE=OF,

∴OE=FG,

∵CF=FG﹣CG,

∴CF=OE﹣AE.


【解析】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考?碱}型.(1)由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論.(2)圖2中的結(jié)論為:CF=OE+AE,延長EO交CF于點G,只要證明△EOA≌△GOC,△OFG是等邊三角形,即可解決問題.
圖3中的結(jié)論為:CF=OE﹣AE,延長EO交FC的延長線于點G,證明方法類似.
【考點精析】掌握等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達(dá)式是解答本題的根本,需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°;確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】紙復(fù)印文件,在甲復(fù)印店不管一次復(fù)印多少頁,每頁收費0.1元.在乙復(fù)印店復(fù)印同樣的文件,一次復(fù)印頁數(shù)不超過20時,每頁收費0.12元;一次復(fù)印頁數(shù)超過20時,超過部分每頁收費0.09元.

設(shè)在同一家復(fù)印店一次復(fù)印文件的頁數(shù)為為非負(fù)整數(shù)).

(1)根據(jù)題意,填寫下表:

一次復(fù)印頁數(shù)(頁)

5

10

20

30

甲復(fù)印店收費(元)

2

乙復(fù)印店收費(元)

(2)設(shè)在甲復(fù)印店復(fù)印收費元,在乙復(fù)印店復(fù)印收費元,分別寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)時,顧客在哪家復(fù)印店復(fù)印花費少?請說明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y2x2y軸交于點A,與x軸交于點B.直線l⊥x軸負(fù)半軸于點C點D是直線l上一點且位于x軸上方.已知COCD4.

(1)求經(jīng)過A,D兩點的直線的函數(shù)關(guān)系式和點B的坐標(biāo);

(2)在直線l上是否存在點P使得△BDP為等腰三角形,若存在,直接寫出P點坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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(1)求本次測試共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)求本次測試結(jié)果為B等級的學(xué)生數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學(xué)八年級共有900名學(xué)生,請你估計八年級學(xué)生中體能測試結(jié)果為D等級的學(xué)生有多少人?

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(1)求點A和點B的坐標(biāo).
(2)點P是線段OB上的一個動點(點P不與點O,B重合),過點P的直線l與y軸平行,直線l交邊OA或邊AB于點Q,交邊OC或邊BC于點R.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,線段QR的長度為m.已知t=4時,直線l恰好過點C.當(dāng)0<t<3時,求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)m=3.5時,請直接寫出點P的坐標(biāo).

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1              2

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(2)如圖2,BEEC求證:四邊形ABFE是菱形

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你認(rèn)為用來描述該飯店員工的月收入水平不太恰當(dāng)?shù)氖?/span>( )

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