Question

15．如圖，在△ABC中，CA=CB，以BC為直徑的圓⊙O交AC于點G，交AB于點D，過點D作⊙O的切線，交CB的延長線于點E，交AC于點F．
（1）求證：DF⊥AC．
（2）如果⊙O的半徑為5，AB=12，求cos∠E．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由CA=CB，OB=OD，易證得OD∥AC，又由DF是⊙O的切線，即可證得結(jié)論；
（2）首先連接BG，CD，可求得CD的長，然后由AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，求得BG的長，易證得BG∥EF，即可得cos∠E=cos∠CBG=$\frac{BG}{BC}$．

解答 （1）證明：連接OD，
∵CA=CB，OB=OD，
∴∠A=∠ABC，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切線，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC．

（2）解：連接BG，CD．
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∵CA=CB=10，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=8．
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=$\frac{AB•CD}{AC}$=$\frac{48}{5}$．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴cos∠E=cos∠CBG=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{24}{25}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．