【題目】(10分)問題:如圖(1),在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=CB,∠DCE=45°,試探究AD、DE、EB滿足的等量關(guān)系.
[探究發(fā)現(xiàn)]
小聰同學(xué)利用圖形變換,將△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH,連接EH,由已知條件易得∠EBH=90°,∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°.根據(jù)“邊角邊”,可證△CEH≌ ,得EH=ED.
在Rt△HBE中,由 定理,可得BH2+EB2=EH2,由BH=AD,可得AD、DE、EB之間的等量關(guān)系是 .
[實踐運用]
(1)如圖(2),在正方形ABCD中,△AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求∠EAF的度數(shù);
(2)在(1)條件下,連接BD,分別交AE、AF于點M、N,若BE=2,DF=3,BM=2,運用小聰同學(xué)探究的結(jié)論,求正方形的邊長及MN的長.
【答案】[探究發(fā)現(xiàn)]△CDE;勾股;;[實踐運用](1)45°;(2)正方形邊長為6,MN=.
【解析】
試題分析:(1)由正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法可證明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF,由全等三角形的性質(zhì)即可求出∠EAF的度數(shù);
(2)由(1)知,Rt△ABE≌Rt△AGE,Rt△ADF≌Rt△AGF,設(shè)AG=x,則CE=x﹣2,CF=x﹣3.因為,得到.解這個方程,求出x的值即可得到AG=6,在(2)中,MN2=MB2+ND2,MN=a,,求出a的值.即可求出MN的長.
試題解析:根據(jù)“邊角邊”,可證△CEH≌△CDE,得EH=ED,在Rt△HBE中,由勾股定理,可得,由BH=AD,可得AD、DE、EB之間的等量關(guān)系是;故答案為:△CDE;勾股;;
(1)在Rt△ABE和Rt△AGE中,∵AB=AG,AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),∴∠BAE=∠GAE,同理,Rt△ADF≌Rt△AGF,∴∠GAF=∠DAF,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∴∠EAF=∠BAD=45°;
(2)由(1)知,Rt△ABE≌Rt△AGE,Rt△ADF≌Rt△AGF,∴BE=EG=2,DF=FG=3,則EF=5,設(shè)AG=x,則CE=x﹣2,CF=x﹣3,∵,∴,解這個方程,得x=6或x=﹣1(舍去),∴AG=6,∴BD===,∴AB=6,∵,設(shè)MN=a,則,所以a=,即MN=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小區(qū)為了綠化環(huán)境,計劃分兩次購進A、B兩種花草,第一次分別購進A、B兩種花草30棵和15棵,共花費675元;第二次分別購進A、B兩種花草12棵和5棵.兩次共花費940元(兩次購進的A、B兩種花草價格均分別相同).
(1)A、B兩種花草每棵的價格分別是多少元?
(2)若購買A、B兩種花草共31棵,且B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍,請你給出一種費用最省的方案,并求出該方案所需費用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在坐標系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,點B在y軸上,OA=1.將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn),每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2014次,點B的落點依次為B1 , B2 , B3 , …,則B2014的坐標為( )
A.(1343,0)
B.(1342,0)
C.(1343.5, )
D.(1342.5, )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列長度的各組線段中,能構(gòu)成三角形的是( 。
A. 4,8,4 B. 2,2,5 C. 1,3,1 D. 4,4,6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市中小學(xué)全面開展“陽光體育”活動,某校在大課間中開設(shè)了A(體操)、B(乒乓球)、C(毽球)、D(跳繩)四項活動.為了解學(xué)生最喜歡哪一項活動,隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有人;
(2)請將統(tǒng)計圖2補充完整;
(3)統(tǒng)計圖1中B項目對應(yīng)的扇形的圓心角是度;
(4)已知該校共有學(xué)生1000人,根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計該校喜歡體操的學(xué)生有人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,E為BC上一點,CE=5,F(xiàn)為DE的中點.若△CEF的周長為18,則OF的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,(1)如果∠1=__________,那么DE∥AC;(同位角相等,兩直線平行);
(2)如果∠1=__________,那么EF∥BC;(內(nèi)錯角相等,兩直線平行);
(3)如果∠DEF+__________=180°,那么DE∥AC;(同旁內(nèi)角互補,兩直線平行);
(4)如果∠2+__________=180°,那么AB∥DF;(同旁內(nèi)角互補,兩直線平行).
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