Question

14．四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC，垂足為點E，連接DE，若△DEC是等邊三角形，AD=$\sqrt{7}$，求?ABCD的面積．

Answer 1

分析 設CE=x，先利用等邊三角形的性質(zhì)得CE=CD=a，∠DCE=60°，再利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD=x，AB∥CD，則根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABC=∠DCE=60°，于是利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，BE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，然后利用勾股定理得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+a²=（$\sqrt{7}$）²，解方程求出a可得到AC和BE的長，再利用三角形面積公式求?ABCD的面積．

解答 解：設CE=x，
∵△DEC是等邊三角形，
∴CE=CD=a，∠DCE=60°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=x，AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE=60°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°-60°=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，BE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△BCE中，∵BE²+CE²=BC²，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+a²=（$\sqrt{7}$）²，解得a₁=2，a₂=-2（舍去），
∴AC=AE+CE=$\frac{1}{2}$a+a=$\frac{3}{2}$a=3，BE=$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面積=2S_△ABC=2×$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等．解決本題的關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)用CE的長表示AE、BE．