Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，四邊形OBHC為矩形，CH的延長線交拋物線于點D(5，－2)，連接BC、AD．

(1)將矩形OBHC繞點B按逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，再沿軸對折到矩形GBFE(點C與點E對應(yīng)，點O與點G對應(yīng))，求點E的坐標；

(2)設(shè)過點E的直線交AB于點P，交CD于點Q．

①當四邊形PQCB為平行四邊形時，求點P的坐標；

②是否存在點P，使直線PQ分梯形ADCB的面積為1∶3兩部分？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E(3,1)；（2）①P(，0)；②存在，(，0)或(，0)

【解析】

（1）由于旋轉(zhuǎn)翻折只是圖形的位置有變化，而大小不變,因此：△BCH≌△BEF，OC=BF，

CH=EF，OC的長可以通過C點的坐標得出，求CH即OB的長，要先得出B點的坐標，可通過拋物線的解析式來求得，這樣可得出E點的坐標，然后代入拋物線的解析式即可判斷出E是否在拋物線上；

（2）①設(shè)P（m，0），根據(jù)四邊形PQCB為平行四邊形，BP∥CQ，得到BC//PQ，故可得出△EFP∽△BHC，所以，從而得，解得m的值后即可求得點P的坐；

②可先設(shè)出P點的坐標如：（n，0），由于直線PQ過E點，因此可根據(jù)P，E的坐標用待定系數(shù)法表示出直線PQ的解析式，進而可求出Q點的坐標，這樣就能表示出BP，AP，CQ，DQ的長，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面積，然后分類進行討論：梯形BPQC的面積：梯形APQD的面積=1：3，梯形APQD的面積：梯形BPQC的面積=1：3，根據(jù)上述兩種不同的比例關(guān)系式，可求出各自的n的取值，也就能求出不同的P點的坐標，綜上所述可求出符合條件的P點的坐標．

解：（1）令y=0，得，

解得x1=1，x2=4，

∴A(4，0)，B(1，0)，

∴OA=4，OB=1，

由矩形的性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

由旋轉(zhuǎn)、對折性質(zhì)可知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

∴E（3，1）；

（2）①設(shè)P(m，0)，

∵四邊形PQCB為平行四邊形，BP∥CQ，

∴BC∥PQ，

∴，

∴，

解得：，

∴P(，0)；

②存在；

設(shè)點P(n，0)，延長EF交CD于點R，

易得OF=CR=3，PB=n－1．

∵S梯形BCRF=5，S梯形ADRF=3，記S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2，

下面分兩種情況：

第一種情況，當S1：S2=1：3時，＜5，

∴此時點P在點F(3,0)的左側(cè)，則PF=3－n，

由△EPF∽△EQR，得，

則QR=9－3n，

∴CQ=3n－6，由S1=2，得,

解得；

∴點P的坐標為(，0)，

第二種情況，當S1：S2=3：1時，＞5，

∴此時點P在點F(3,0)的右側(cè)，則PF=n－3，

由△EPF∽△EQR，得QR=3n－9，

∴CQ=3n－6，由S1=6，得，

解得，

∴點P的坐標為(，0)

綜上所述，所求點P的坐標為(，0)或(，0)．